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著作権法第三十六条第一項によると，
［引用始］
公表された著作物については、入学試験その他人の学識技能に関する試験又は検定の目的上必要と認められる限度において、当該試験又は検定の問題として複製し、又は公衆送信（放送又は有線放送を除き、自動公衆送信の場合にあつては送信可能化を含む。次項において同じ。）を行うことができる。
［引用終］
とされています。ここには作者名や書名の表示を求める規定はありません（なお，それを求めるのがまさしく法的な「引用」です）。
この記述は，各種公的学校の「入学試験」はもちろん，「入学試験その他人の学識技能に関する試験」，すなわち予備校や学習塾の模擬試験に関しても，著作者の許諾なしで試験問題を作成することが可能であるということを示唆しています。また，法的に正確な解釈かは分かりませんが，「検定」もここに含まれていることから，英語検定等の民間試験に関しても同様なのではないでしょうか。
さまざまな試験・検定がそうなのですが，特に入学試験問題は試験の公平性が求められます。許可を取る場合には，著作権者へ曲がりなりにも連絡をし，もちろんその際には作成された試験問題まで開示する必要がありますから，特に最も厳粛に執り行われる大学入試に関しては，許可をいちいち取らないことがほとんどなのではないかと思います。学校側から，試験に利用した旨の事後報告はされるようです。
他方で，同法同条の第二項には，
［引用始］
営利を目的として前項の複製又は公衆送信を行う者は、通常の使用料の額に相当する額の補償金を著作権者に支払わなければならない。
［引用終］
センター試験や入学試験，検定はすべて試験料を徴収しています。これは「営利を目的」とした活動に相当してしまうため，前記第2項の規定によれば，試験の実施後に著作者に対して学校等が利用料を支払っているものと考えられますが，この場合でも，やはり著作者や著作物の情報を書き記すことに関しては義務付けられていません。ただ，著作権法上の義務は果たされていることになります。
いわゆる赤本・青本のような入試問題集，あるいは通常の問題集や市販の参考書に関しては，通常の著作権法の範疇となり，その出版に関しては，通常通り個別に著作権者の許可を取り，使用料を支払わなければなりません（営利・非営利は関係なく，たとえばこれらの問題集が書店で平積みで無料に配布されていたとしても，著作権法上果たさねばならない義務は発生します。著作権法の制限を受けず，かつ公共に対して行える行為は「非営利で著作物の上演・演奏・上映・口述（朗読）」を行う場合です（著作権法第三十八条）。書籍の刊行はこれに含まれません）。問題集や参考書に関しては，著者名および著作物名が記載されることも多いのではないかと思います。
さらに，入学試験問題自体も，科目等を問わず各種学校法人を著作権者とした著作物として扱われますので，出版社は問題集に取り上げる学校ごとにも許可を求めているのではないかと思います。これに関しても通常の著作権法の論理が働いていると思います。
大学がホームページでオフィシャルに公開するような入試問題にちょいちょい未公開な部分があったりするのは，たぶん三十六条を利用した上で，他の条項に則る形で著作者の許可を取ってはいないからです（ホームページでの試験問題の公開は「試験の実施」ではない）。他方，センター試験の問題が予備校や新聞で好き放題に掲載されてるのは，たぶんセンター試験を管理してる大学入試センターが文部科学省管轄の独立行政法人だからです（著作権法第13条によると独立行政法人の刊行物には著作権法が適用されない。公の機関により認められ，刊行されるものだからです。この解答の一番下で述べる「検定教科書」と同じような理屈です。ただし，現代文の問題などで，独立行政法人の外部の著作者の著作物を掲載した場合には当該部分が著作権法の対象となるため，国語に関して掲載をしない予備校もあるはずです）。
しかし実は，新聞社や予備校がセンター試験の問題全文をサイトに掲載するための裏技があって，その場合は著作権法第四十一条を利用します：
［引用始］
写真、映画、放送その他の方法によつて時事の事件を報道する場合には、当該事件を構成し、又は当該事件の過程において見られ、若しくは聞かれる著作物は、報道の目的上正当な範囲内において、複製し、及び当該事件の報道に伴つて利用することができる。
［引用終］
この条項を利用して，つまりセンター試験問題の掲載を「報道」と解釈することで，センター試験という「事件」（出来事，くらいの意味で捉えるといいと思います）に関わる著作物としてのセンター試験は，新聞社あるいは予備校・学習塾が「報道機関」としてその全文を複製し，これをホームページに掲載することができます。著作権法上の理由からセンター国語等の問題について掲載しない予備校ももちろんありますが，一部予備校は新聞社が掲載した問題にリンクなどを貼る形で，他の予備校は自ら「報道機関」となる形でセンター試験問題を掲載します。
一方で，大学の個別試験が各種メディアに掲載されないのは，大学が独立行政法人ではなく，学校法人だからだと思います。大学というのは国立あるいは公立また私立の学校法人として文科省からは独立していますので，その入学試験は著作権法の適用範囲内の著作物となり，センター試験と同様に扱うことはできないと考えられます。個別の学校法人が著作権者となります。
補足すると，著作権法三十三条に「検定教科書への著作物の掲載」，三十四条に「点字版検定教科書などのハンディキャップのある生徒向けの検定教科書への著作物の掲載」，三十六条に「著作物の学校教育への利用（芸術科の時間に映画を観たりですね）」，がそれぞれ認められているようです。
大変勉強になりました。公的か非公的か、営利か非営利かなど条件が様々存在して、それぞれに適した「法」が作られていることをとても理解することができました。
公的な利用でない(報告に値しない)ものは文章の引用に、題名や作者名などを明記する、著作者の許可を取る、などの義務が課せられると解釈します。
ありがとうございました🙇♂️