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1次関数y=(1/2)x-1はxが増加するにつれてyが常に増加する関数(直線)です.
したがってyの変域は(1/2)*(-1)-1≦y≦(1/2)*2-1⇔-3/2≦y≦0と決まります.
このようなyの変域をもつ2次関数y=ax^2を探しているわけですが,
a≧0のときxの値に関わらずx^2≧0であることに注意するとy=ax^2≧0となってyの変域が負になることはありません.
[a=0のときxに関わらずy=0(定値(数)関数といいます), a>0のときy=ax^2は下に凸な放物線で原点が最小値を与えます. これはyの変域に矛盾.]
したがってa<0に限られます. y=ax^2(a<0, -1≦x≦2)は原点を頂点とした上に凸な(上に出っ張りがある)放物線です.
yの最大値はx=0のとき, y=0です.
放物線というのは軸に対称な曲線なので最小値はx=2(絶対値の大きい方が最小値を与えます)のときy=a*2^2=4aを与えます.
y=ax^2は連続な[途中で飛びがない]関数ですからyの変域は4a≦y≦0と表せて, -3/2≦y≦0と一致するので4a=-3/2が成り立ちます.
これを解いてa=-3/8です.
ご丁寧にありがとうございます！