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12[i] きほんのきほんです. 外力が無視できる系では運動量は保存します. "置かれている"というのは静止を表します.
球Aと球Bの運動量は衝突後も保存される. 衝突後のAとBの速度を右向きを正にしてそれぞれV', v'とすると
MV+m*0=MV'+mv' [運動量保存則]
また反発係数が0.5なので
0.5=-(V'-v')/(V-0) [反発係数の関係は二体の相対速度の比較で決まっている]⇔v'=V'+0.5V
連立させると
MV=MV'+m(V'+0.5V)⇔(M+m)V'=(M-0.5m)V⇔V'=[(2M-m)/{2(M+m)}]V
球Aが衝突後も衝突前と同じ向きに動くための条件は, V'とVが同符号であることである.
すなわち2M-m>0⇔m/M<2であればいい(1).
このときBの衝突後の速度v'は
v'=V'+0.5V=[(2M-m)/{2(M+m)}]V+(V/2)=[(3M)/{2(M+m)]V
v'もVと同じ向きなので速さは[(3M)/{2(M+m)]V (2)
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[ii] 定性的には当たり前な話ですが, 計算できっちり示しておきます.
球Bと球Cの反発係数をe, 球Cの衝突後の速度をuとすると
運動量保存則から
mv'+m*0=m*0+mu⇔u=v'
また反発係数に関して
e=-(0-u)/(v'-0)=u/v'=1 [同じ質量のものが衝突して速度が入れ替わるのは弾性衝突です.]
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7 この問題は教科書や参考書をまず読んだ方がいいでしょう.
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単振り子の描く円弧の接線方向の力は内向きなので-mgsinθです. [図は自分で書くこと]
単振り子が単振動するためには振幅が微小なので角θが微小[θ≒0[rad]]なときに限られます.
このとき円弧に沿った変位をx, 糸の長さをLとすると, x≒θなのでsinθ=x/Lと近似できます.
水平方向について運動方程式を立てると
ma_x=-mgsinθ≒-(mg/L)x
すなわち-(mg/L)xが復元力となって単振動をすることが分かります.
単振動の角速度をω[rad/s]とすると
a=-ω^2x [x=Asin(ωt+δ)ならばv=Aωcos(ωt+δ), a=-Aω^2sin(ωt+δ)=-ω^2x]
なので
ω^2=g/L⇔ω=√(g/L).
単振動の周期T[s]は
T=2π/ω=2π√(L/g)
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周期1.0[s]のような単振り子の糸の長さは
T=2π√(L/g)⇔T^2/(2π)^2=L/g⇔L=gT^2/(2π)^2=(9.81)*(1,0)^2/(2*3.14)^2=0.248[m]≒0.25[m]
です.
ありがとうございました！！
水平方向について運動方程式を立てると -> 円弧に沿った成分について運動方程式を立てると
に読みかえてください.