まず一般的に考えてみます.
nを自然数として√nが整数mになるならば, m=√n. 両辺を2乗するとn=m^2ですね.
これから分かることは平方根の中身nは"平方数", つまり同じ整数の2つの積[2乗]である必要があります.
***
√90a
=√(2*3^2*5*a)[まずは素因数分解します.]
=3√2*5*a[ルートの外へ出せるものは早めに退出させます]
ここで√(2*5*a)が整数になるためには, すなわち2*5*aが平方数となるためには,
aが少なくとも2と5[ペアを作ると思えばいいでしょう]を約数にもち, 残りの約数も平方数でなくてはいけません. つまり
a=2*5*L^2[Lは適当な自然数]
と表されなくてはいけません.
もっとも小さい自然数aはL=1のときでa=2*5*1=10
***
a=2*5*3ではダメなのですか?
3は"平方数"ではありませんので3√(2*5*2*5*3)=3*2*5√3となって無理数のままです.
だからもう一つペアとなる3が必要でa=2*5*3*3ならば3√(2*5*2*5*3*3)=3*2*5*3となって整数になることが出来ます.
国語
中学生
この問題でなぜ2×5なんですか？
3をかけても良いのですか⁇
衣 90Z が整数となるような, もっとも小さきい
然数 o を求めなさい。 また, 求め方も書きなさい。
(20点)
求め方
222 槍欧孝 と⑦2もをでり自徐数
(す のx2x2xテメみ と792。
(ずを?とちを応 っ。催才在 から/9
>2*65 との
回答
2×3²×5×a=(自然数)²
としたいわけですね。
ここでa=3でも
2×3³×5となってしまい、(自然数)²とはできませんよね。
この問題では、指数を偶数にするためにはどうすればいいかを考えれば解けるわけです。
指数が偶数なら
たとえば2²×3²×5²=(2×3×5)²
と変形できますもんね。
ちなみにaとしてありえる数は
2×5
2×5×2²
2×5×3²
2×5×4²
…………
などがあります。これらがaならば(自然数)²と変形できますもんね。余裕があれば確かめるのもいいでしょう。
ここでは最小のものを聞かれているので
2×5=10となったわけですね。
3ではダメです。
整数にする問題です。ルートを外したら整数になるためそれを目指して解きます。
ルートを外すにはそれぞれの数字のセットを作らないと行けません。3は2つあるのでもうセットになっています。
ですが2と5は1つずつしかありません。これのセットがあると整数になるため答えはセットになっていない2と5をかけた10になります。
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