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とりあえずグラフから分かる情報をすべて引き出してみましょう.
まず平方完成してf(x)=ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+(c-b^2/4a)とします.
グラフを見ると上に凸なのでa<0, 頂点の位置はx=-b/2a=b/(-2a)<-1<0で(-2a)>0なのでb<0がいえます.
またx=-1, 0, 1/2. 1におけるy座標の正負がグラフで与えられています. そこで
f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c>0
f(0)=c>0
f(1/2)=a(1/2)^2+b(1/2)+c=(1/4)(a+2b+4c)<0⇔a+2b+4c<0
f(1)=a+b+c<0
となってすべての問題の答えが導き出されました.
分かりました！ありがとうございます！