Question

ゲスト

大問5の詳しい解説を教えてください。

5*。 2>1のとき, つぎのQ)一(⑭ を示せ(Z>1 のとき指数関数 " は, この
ようにして定義むる. 0<Z<1 のときも同様).

(1 /が自然数のとき, >%ニムとなる>1がただ1つ存在すること
を示せ. このょを の と書く.

(2) が正の有理数でありァニカ/ヵのとき, "=(g'")" と定義する.
この定義は み, ヵ のとり方によらないことを示せ. また+, りが有理
数で 0く<ヶく/のとき の"くZ" であることを示せ.

(3) =0が実数とする. {z』) を単調増加な有理数列で im x』ニィ と

なるものとする. {2"") は収束すること, およびこの極限値は数列

令』ヵ) のとり方によらないことを示せ. これを用いて の"=hm g" と

定義する. またヶく0のとき ーーー と定義する.

(4 ) このようにして, すべての実数ヶ に対して定義された関数=
は連続関数であることを示せ.

5. (1) 中間値の定理を /(*)ニィ"ーのに用いる-
(2) 2""=の"0 を示す. これには, (1) の唯一性を用いる. 後半は前半の

結果より, 指数を通分して考える.
(3) =Z" とおくときに, (2) が単調で有界な数列であることを示せば,

収束性がわかる. 数列 fr。) のとり方によらないこととは, (2) と問題 1.1-2 を用
いる.
(4) (②)の後半と問題 1.1-2 を用いる.