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f⁽ᵏ⁾(c)≠0 となるkのうち、最小の整数kを考えます
以下、画像のようになります
すみません、あの時手元に自分の回答がなかったので気づかなかったのですが、
分母の1階微分からk-1階微分までの項はどうなりますか？
(x-c)^kで割ると思うのですが、その場合極限を取ると分母が無限に飛ぶと思うのですが…
f⁽ᵏ⁾(c)≠0 となるkのうち、最小の整数kを取っているところがミソです
この仮定より
f(c)＝f⁽¹⁾(c)＝…＝f⁽ᵏ⁻¹⁾(c)＝0
なので実質的な項はk次の項からになります
ここら辺は誤解を生みやすいですが、f⁽ᵏ⁻¹⁾(x)自体はゼロ関数ではないです。なので微分してもゼロでない関数になる可能性はあります
f⁽ᵏ⁻¹⁾(x)にx=cを代入したとき0になったということですね
例えば
f(x)=(x-c)³
とすると、
f(c)=f⁽¹⁾(c)=f⁽²⁾(c)=0
ですが、
f⁽³⁾(c)=6≠0
となります
テイラー展開をする段階と極限をとる段階がごっちゃになってますね
まずはじめに、質問画像1枚目でテイラー展開の定義式が呈示され関数f(x)が多項式近似されます
この時点では極限x→cのことはまだ考えていませんが、一方で f⁽ ⁾( ) となっているところはもうx=cを代入しています。ここは極限値という意味ではありません
その後に、質問画像2枚目でテイラー展開の式のx→cにおける極限を考察しています
テイラー展開をした段階で、ゼロになっている項を全て省いたということでしょうか？
そうですね
なるほど納得です！
ありがとうございます！
いえいえ
また回答してくださり、ありがとうございます。
納得です、詰めが甘かったみたいです。
ちなみに前回の楕円積分ですが、あのような形を楕円積分というだけで、導出するようなものではなかったようでした。