Question

リオ

第2種楕円積分の導出をする時に、楕円 (x/a)^2+(y/b)^2＝0 の媒介変数表示について
x＝asinθ、y＝bcosθ と表されると思うのですが、この媒介変数表示はどのように導けますか？

あと、この媒介変数の方法に目を瞑れば第2種楕円積分はなんとか導出できました。しかし、第1種楕円積分と第3種楕円積分の導出方法がわからないです。

詳しい方お願いします。

第2話 和円・レムニスケート

 

07

x    1       1
/    央2Sin)  (1一c2sin2< 0
をそれぞれ第 1 種・第 3 種椿円積分とよぶ。
一般に 尺(x, y) が x, y の有理関数, P(x) が 3 次・4 次またはそれ以上の
貞葉で平方因子をもたないとき

風 (1 V P(0)df

0
柄円積分とよぶ。ルジャンドル Adrien Marie Legendie (1752-1833) に.

媒介変数 楕円積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

(x/a)²+(y/b)²＝1 ⋯ ①
の間違いですかね？
これであれば、①より点 (x/a,y/b) は原点を中心とする半径1の円上にあるため
x/a＝cosθ, y/b＝sinθ
と置けるためです

後半について、楕円積分は詳しくないので適当なことを言っているかもしれませんが、画像の式の被積分関数はsintだけで表されているので、
s＝tan(t/2)
で置換すれば楕円積分の形になりそうな気がします

リオ

①の間違いですね、すみません。
前半部分は納得出来ました。

後半はよくわからないですね…。
どの式で置換するということで、楕円積分の形とはどれのことを言っているのでしょうか？
知りたかったのは第一種楕円積分と第三種楕円積分の導出です。

gößt

∫[0,x]dt/√(1-k²sin²t)
や
∫[0,x]dt/{(1-c²sin²t)√(1-k²sin²t)}
などを
∫[0,x]R(t,√P(t))dt
の式に直す、という意味だと捉えて回答していました
あまり知らないのに首を突っ込むのはよくないですね

少し調べてみたところ、楕円の周長は第二種楕円積分で表されることがわかったのですが、これを第二種楕円積分の導出と呼んでいるのでしょうか？となると、第一種、第三種楕円積分の導出とは何を指すのでしょう？

リオ

そういうことではなかったですね。
いえいえ、一緒に考えて下さってありがとうございます。

楕円の円周は第2種に帰着するそうで、それは確認できましたが、第1種と第3種が調べたんですけど謎すぎます。
とりあえず、どれかの形に必ず帰着するらしいんですが…。

ここを予習してみんなに説明しなければいけないのでだいぶ深く突っ込んでいるため、より難しくなっています。
全部明日学校で聞いてきます。

gößt

そうですね。詳しいことが分かったら教えてください