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証明問題です。

Answer 1

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DoDoraemon

∂z/∂r = (∂z/∂x)(∂x/∂r) + (∂z/∂y)(∂y/∂r)
= cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)
∂z/∂θ = (∂z/∂x)(∂x/∂θ) + (∂z/∂y)(∂y/∂θ)
= -rsinθ(∂z/∂x) + rcosθ(∂z/∂y)
∴ (∂z/∂r)^2 + 1/r^2(∂z/∂θ)
= {cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)}^2 + 1/r^2{-rsinθ(∂z/∂x) + rcosθ(∂z/∂y}^2
= {(cosθ)^2 + (sinθ)^2}(∂z/∂x)^2 + {(sinθ)^2 + (cosθ)^2}(∂z/∂y)^2 + 2cosθsinθ(∂z/∂x)(∂z/∂y) -2cosθsinθ(∂z/∂x)(∂z/∂y)
= (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2 //

全微分 連鎖律