People are being urged
「人々は強く勧められている」
not to ask their doctor for antibiotics
「医者に抗生物質を求めないように」
as part of a new campaign
「新しいキャンペーンの一環として」
aimed at fighting bacteria’s growing resistance to the drugs.
「細菌が薬剤に対して耐性を高めていることに対処することを目的とした」
※抗生物質を不必要に使いすぎることによって、抗生物質に対する耐性を持った細菌が発生し、抗生物質が効かなくなるという問題が起きています。抗生物質を安易に使用しないように人々に注意喚起し、耐性菌の発生を抑制しようとしている運動（キャンペーン）に関して述べているのだと思います。
ありがとうございます♡