まず、There areの文なので、be動詞areがあります。一般動詞とbe動詞は1つの文につきどちらか1つしかだめなので、(be動詞+ingのような動詞のingの形は動詞とは言わずに現在分詞という)一般動詞visitに三単現のsがついた3や過去形になった4はだめです。
次にvisitingですが、こんなところにあるvisitingは現在分詞の形容詞的用法(中3の最後の方に習う)しか考えられないですね。一応これで意味をとってみると、この町を訪れているたくさんの場所があるという意味不明な訳なので❌です。そうなると、2です。
2ですが、不定詞の形ですね。名詞のあとにすぐ来て名詞を説明する不定詞の用法は、形容詞的用法となります。-するための と訳します。
直訳するとこの町には訪れるための場所がたくさんある。となりますね。よって、正解です。
ただ、この問題ならば消去法じゃなくて、形容詞的用法の典型的な文なので、すぐに答えられるようになっておくべきでしょう。
There are a lot of places to see in Kyoto.
Kyoto has a lot of places to see.
京都には見るべき場所が(見るための場所が)たくさんある。という例文で覚えてしまいましょう。
