Question

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‪A+B=Eとなる3次実正方行列A,Bに対して、ℝ³の部分空間U,Vは元yにA,Bを作用させてできる元xの集合とする。‬

‪(1) AB=O⇔A²=Aを証明せよ。‬
‪(2) AB=O⇔ℝ³=U⊕Vを証明せよ。‬

‪(2)が解けませんでした。‬解法を教えてください。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

射影行列ですねー

任意の x∈ℝ³ に対して
x＝Ex
＝(A+B)x
＝Ax+Bx
なので、
ℝ³＝U+V

また、任意の x∈U∩V に対して
x＝Ay＝Bz
を満たす y,z∈ℝ³ が存在する。左からAをかけると
A²y＝ABz
Ay＝0
よって x=0 なので、
X∩Y＝{0}

以上より、
ℝ³＝U⊕V

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直和を示したいときは、全空間の中の元を持ち出して、それが部分空間の元の和になっていることと、共通部分が0であることを確かめればいいのですね。

ちなみに、ℝ³=U⊕VからAB=Oを証明することはできますか。

gößt

そうですね。
W=U⊕V
とは
U∩V={0} かつ W=U+V
のときをいいます

ここら辺は私もよく分かってないので探り探りですが、こんな感じでしょうか
A+B=E のとき
AB=A(E-A)=(E-A)A=BA
なので、任意のxに対して
ABx=BAx
いま、仮定より U∩V={0} なので
ABx=BAx=0
したがって
AB=O

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わかりました。ありがとうございます！