Question

リュウ

バネ振り子の周期が変化しないのはなぜなんですか？

バネ振り子

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Euro step

周期に依存する物理量は質量、バネ定数です。これらは運動によって変化しない定数ですので周期はふつう変化しません。

空気抵抗や摩擦があったとしてもこの関係は変わりません。何故かという問いは微分積分を使わないと説明が難しいので割愛いたします。

もし、重りが穴の空いた砂入りの袋などで、振動のたびに質量が変わるならば周期は変化するでしょう^ - ^

リュウ

ではこの場合（写真右側）は加速度αが加わっているけど
T=2π√m/kなので質量とバネ定数のみが関係しているということであってますよね？

リュウ

もう１つ聞きます
この参考書の答えではF＝ーK （バネ定数）x+ Cと表されていて、
この 場合のK'（定数）を求めるのに微分積分の考え方を用いるってことですよね？

Euro step

質問1に対して:
そうです。
写真の加速度系の静止系を考えてみると、

ma=-mg-mα-kx

です。この静止系では画像に対して上向きに座標をとっています。ゆえに-mg-mαです。

便宜的にg’=g+αという量を導入しましょう。すると、

ma=-mg’-kx

となり、g’という重力加速度中にあるバネ振り子の運動となります。加速度がある場合ない場合でも方程式の形は変わらないのでシュウ変化しません。振り子はgに依存するので今回は変化するでしょう。

質問2に対して:
全てを把握していないので一概には言えませんが、その定数は右辺の-mgや-mαにあたるものだと考えます。

もし、この問題を微積で解くなら（あんまり深く考えなくても大丈夫です🙆‍♂️）

m d²x/dt² = -mg’ -kx
d²x/dt² = -(k/m)x-g’
d²x/dt² = -k/m(x+mg/k)

ここでx’=x+mg/k. dx’/dt=dx/dt
ω=√k/m

d²x’/dt²=-ω²x’
よって
x’=Asinωt+Bcosωt (A,Bは積分定数）
あとは初期条件からA,Bを決めればよい。
またT=2π/ω=2π√m/kとなる。

思うのはx’に吸収されるものが画像の定数の意味だと思います。今回の積分定数は振幅と位相にあたりますので…

長々と失礼しました＿|￣|○

リュウ

質問1は理解できました。質問2は時間に余裕があったらまた考えてみようと思います。
ありがとうございました。