✨ ベストアンサー ✨
今回はけっこう間違えています⋯
1問目(2)はあってます
2問目(3)はちがいます。前にもちらっと言った気がしますが、cos(-x)=cosx ですよ！
4は部分積分にまだ慣れていない感じですかね？
(1)なら
∫[0,1]x•(2e^(x/2))'dx
=[x•2e^(x/2)][0,1]-…
という風になっていきますよ
(2)は
√x=((2/3)x^(3/2))'
となるはずです
部分積分はあっちは微分してこっちは積分して⋯ といった計算の多さがあり、その上(1)の e^(x/2) みたいに合成関数など交じっているとさらに混乱しやすいので、はじめのうちは落ち着いて丁寧に計算しましょう
ありがとうございます🙏
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絶対値があったらまずは外すことを考えましょう
いま、積分範囲は 0≦x≦π/2 なので、この範囲で sinx-1/√2 の正負を考えれば
0≦x≦π/4 のとき sinx-1/√2≦0
π/4≦x≦π/2 のとき sinx-1/√2≧0
したがって、
∫[0,π/2]|sinx-1/√2|dx
＝∫[0,π/4]|sinx-1/√2|dx
＋∫[π/4,π/2]|sinx-1/√2|dx
＝－∫[0,π/4](sinx-1/√2)dx
＋∫[π/4,π/2](sinx-1/√2)dx
＝－[-cosx-x/√2][0,π/4]
＋[-cosx-x/√2][π/4,π/2]
＝(1/√2+π/4√2-1-0)－(0+π/2√2-1/√2-π/4√2)
＝√2-1