中学の範囲で解けばいいんですよね？(高校1年生の「三角比」で習う正弦定理や余弦定理、三角形の面積定理などは使ってはいけないんですよね？)
まず、与えられた情報を書き込んでください。で、そのあとにしなければいけないのは、円が出てきているので円周をなぞるように見ていって弧を見つけたらその円周角にチェックをいれることです。そうすると、写真のようになります。このときに、△BCDが二等辺三角形になっていることに気づけると思うのでBC=2√3がわかります。
ここまでは、どんな問題であっても聞かれていなくてもしなければいけません。
(1)二等分線であるADに注目してください。二等分線と言われて、どれだけの解法が思い浮かびますか？このような引き出しを増やすということを中学数学では特に意識してください。多いパターンの1つとして、内角の二等分線定理がありますね。(わからなければネットで調べてください。)これを使えばすぐに求まりますね。答えは√5×5/2=5√5/2です。
(2) △ABDと△DCFについて考えます。辺について見たとき、ABとBDはわかってますが、それに対応しているDCとCFのうちCFはわかりません。これを求めにいく方針をたてるのもありですが、ここで(3)でAFの長さが聞かれていることなどから踏まえると(1)でACが出ているのでCFの長さがわかったら(3)はAC+CFをするだけのクソ問になってまうので、CFはそう簡単には求めれなさそうです。そうなると、あとは角でせめにいくしかありません。わかっている角は△ABDのうち∠BADが🔴で∠BDAが❌だということです。ならば、それに対応する∠CDFが🔴,∠CFDが❌だということをいうのがはやそうですね。そこで、する∠CDFが🔴,∠CFDが❌だと仮定して2枚目のように書き込みました。このように、逆の発想(ゴールから考える)というのは、とても大事な発想なので覚えておきましょう。この図に着目したときに、それぞれBCAとDFCが同位角の関係(×どうし)、BCDとCDFが錯角の関係(⚫️どうし)にあるので、こいつらが等しいならば、BCとDFは平行なので、BCとDFが平行であることを示していきます。(続く)
。ここで、まだ使っていない条件として DFが円の接線であるということがあります。そこから、接弦定理に持っていけばDBCとBDG(BFの両端のうちFでない方をGとする。)が等しいといえます。(これは学習指導要領範囲外なので習ってないかもしれないので、これをしなくてもよい方法を考えておきます。)
よって、以下のように証明します。
円Oの接線DFについて、その両端のうちFでない方をGとする。
円Oの接線FGと△BCDについて、接弦定理より∠BDG=∠BCD -①
また、仮定より∠BAD=∠DAC -②
円周角の定理より∠DAC=∠DBC -③
∠BAD=∠BCD -④
②③④より、∠BCD=∠DBC -⑤
よって、①⑤より∠BDG=∠DBC -⑥
⑥について2つの角は錯角の関係にあるので、BC∥FGである。
ここで、△ABDと△DCFについて
BC∥FGから
平行線の同位角は等しいので∠ACB=∠CFD -⑦
平行線の錯角は等しいので
∠BCD=∠CDF -⑧
⑦⑧より対応する2角が等しいので△ABD∽△DCF
(3) (2)の説明でも言ったように、CFさえわかれば求まりますね。CFは△DCFを構成する1辺なので、(2)を使うことはわかりますね。前の問題の答えは誘導になっていることが多いので、意識しておきましょう。さっきはCFは求めようなかったのですが、(2)で相似が示せたのですぐに求まります。AB:BD=DC:CFより12/√5=12√ 5/5です。
(1)で求めた5√5/2と足しあわせて、25√ 5+24√5/10=49√5/10が答えだと思います。
丁寧な解説ありがとうございます！！
円周角などを見つけるのが苦手だったので教えていただけて良かったです✨
そうですー！
解説お願い致します