✨ ベストアンサー ✨
楕円
x²/a²+y²/b²=1
上の点(p,q)における接線の方程式が
px/a²+qy/b²=1
になることの証明ですか？
計算しながら思ったのですが、これは微分使わなかったとしても判別式は用いず次のようにやる方がいいです
(証)
(1)接点が(±a,0)のとき
接線は x=±a であるから、確かに
px/a²+qy/b²=1
の形になっている
(2)(1)以外のとき
接線はy軸に平行ではないから、傾きをmとすると
y=m(x-p)+q
とおける。この式と楕円の式を連立すると
x²/a²+{m(x-p)+q}²/b²=1
(p,q)は楕円上の点なので
p²/a²+q²/b²=1
上の式から下の式を引いて
(x²-p²)/a²+{m²(x-p)²+2qm(x-p)}/b²=0
(x-p)[(x+p)/a²+{m²(x-p)+2qm}/b²]=0
この式が重解をもてばいいので、
(x+p)/a²+{m²(x-p)+2qm}/b²=0
が x=p を解にもてばいい。よって
2p/a²+2qm/b²=0
m=-b²p/a²q
よって、接線の方程式は
y=-(b²p/a²q)(x-p)+q
b²px+a²qy=b²p²+a²q²
px/a²+qy/b²=p²/a²+q²/b²
px/a²+qy/b²=1
一応判別式をダイレクトに使ってもみましたが、かなり計算が複雑になりました。もし希望があればその計算もあげます
とても詳しく本当にありがとうございます！！！🙇🏻♂️🙇🏻♂️
そうです！！説明不足ですみません。