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【解答例】12
[A] (1) 力のつり合いより、
k * x1 = mg * sinθ
∴ x1 = mg * sinθ / k
(2) 単振動のエネルギー保存則より、
1/2 k x1^2 = 1/2 m v1^2
⇒ v1 = √(k/m) * x1 = √(k/m) * mg * sinθ / k
∴ v1 = √(m/k) * g * sinθ
(3) 振動中心から x1 だけ離れた場所で物体をはなしたと考えると、
振幅は x1 なので、
x2 = 2 * x1 = 2mg * sinθ / k
[B]
(4) ばねののびが最小のとき、重力と弾性力が摩擦力とつりあっている。
力のつり合いより、
kx3 + mg * sinθ = μmg * cosθ
∴ x3 = (mg/k) * (μcosθ - sinθ)
ばねののびが最大のとき、重力と摩擦力が弾性力とつりあっている。
力のつり合いより、
kx4 = mg * sinθ + μmg * cosθ
∴ x4 = (mg/k) * (sinθ + μcosθ)
(5)
【解法1】半周期の単振動とみなす
物体について運動方程式をたてると
ma = -kx - μ'mg * cosθ
ma = -k * (x + {μ'mg/k}cosθ)
※力のつり合いの位置 x1 を x = 0 とした。
よって単振動の振動中心は、x = -(μ'mg/k)cosθ
これより単振動の振幅は、x1 - (μ'mg/k)cosθとなり、
ばねののび x5 は振幅の二倍に相当するので、
x5 = 2 * {x1 - {μ'mg/k}cosθ}
∴ x5 = (2mg/k) * (sinθ - μ'cosθ) (∵ x1 = mg * sinθ / k)
【解法2】 単振動のエネルギー保存則をつかう
単振動のエネルギー保存則より、
1/2 k * x1^2 = 1/2 k * (x5 - x1)^2 + x5 * μ'mgcosθ
1/2 k {x1^2 - (x5 - x1)^2} = x5 * μ'mgcosθ
1/2 k * x5 * (2x1 - x5) = x5 * μ'mgcosθ
⇔ ...
(中略)
∴ x5 = (2mg/k) * (sinθ - μ'cosθ)
(6) 弾性力が重力と摩擦力に打ち勝てば物体が上昇する。
k * x5 > mg * sinθ + μmg * cosθ
(5)で求めた x5 を代入して、
k * {(2mg/k) * (sinθ - μ'cosθ)} > mg * sinθ + μmg * cosθ
両辺をsinθでわって、整理すると
tanθ > μ + 2μ' ■
※(4)で求めたx3からx4の範囲にはいっていなければ静止しないので、
x5 > x4 としてもよい。
※全体を通して単振動のエネルギー保存則をつかったが、位置エネルギーを考えたかったら弾性力のエネルギーを考えて式を立ててもよい。（計算がやや面倒）
分かりやすくありがとうございます