Question

みみ

最後の体積を求める部分で辺の長さ倍だけして√2/6×2/3×4/9×4/5×1/2としたのですがなぜこの方法ではいけないのか教えて頂きたいです。よろしくお願いいたします。

第3問 次の文章中のア~ネに適する符号または数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
底面が正方形ABCD で, すべての辺の長さが1の正四角錐 O-ABCDがある。
OP = poÀ (0< p<1), OQ=/OB,OR=roC(0<<1) OS=1/20Dを満たす
4点P,Q,R,Sは,同一平面上にあるものとする。
(1)正四角錐O-ABCDの体積は,
(2) OS
==
ウエ
ア
である。
イ
オ
キ
OA
OB +
-OC である。
ク
ケ
(3)p, rについて,
1 + =
が成り立つ。
p r
コ
200
サ
ス
(4)rpr であるとき,p=
である。
シ
セ
ソ
テナ
このとき QPQR
=
であり、四角錐OPQRSの体積は
タチツ
ニヌネ

2/3
本作≫
と、三平方の定理より
〇から面人に
OH-VOD-HD--4
よって正四角錐 O-ABCDの体積は、面 ABCDの
面積SがS-1より
V = 1/3 XSXOH=V2
題意 より
OS =
ア・イ
瓶を定めて
1/20D=1/2(OA+AD)=1/12 (A+B)
-1(OA+OC-OB)
=120A-120B+1200→ゥーク
(3)(2)と題意より
05=1/11/10-12/11/2800+1/21/201
OP
OS
=
1
2p
-OQ+
OR
r
1
OP-20Q+ -OR
4
2r
4点P,Q,R, S は,同一平面上にあるから
3
=
+(-)+1
2r
分解!
B
2p
1
2p
よって 2+2=7
1
S
2r 4
したがって, rについて
回面 大
1 1 7
pr
2
→ケコ 150 150
が成り立つ。
1
(4)(3)より
+
P
r
1
2

医療福祉大 医
9
これとr-p=pr⇔
1より
p
D
4
なので
&
p
r=
4
5
これらは0 <p<1,0<x<1に適する。
4
4
よって
p=
r=
→サ~セ
9'
5
このとき
=
QP・QR=(OP-OQ) (OR-OQ)
2
-(OA-OB) (OC-OB)
16
45
15 OA・OC-27 OA・OB-15OBOC+ 4/10B
OB²
9
ここで∠AOC=90° ∠AOB=60° ∠BOC=60° より
QP QR=-44 4
|-20-36+60
+
27
15 9
135
4
135
―→ソーツ
また, 三角錐 OPQR の体積 V1, 三角錐 OPRS の体積 V2 はそれぞれ
4 2 4
×
×
9 3 5
V1=
1×1×1
×1/V=
16
V
+80-70+
135
4 4 1
× ×
V2=
9 5 2
×
1×1×1
45 00
Voo
よって四角錐 OPQRS の体積 V' は
28
28
V'=Vi+V2= V=
√2_14√2
×
=
→テ〜ネ
135
135 6
405

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

そもそも、1つの辺をp倍したら体積もp倍、
とする根拠がありません

4辺をそれぞれ×p,×q,×r,×sしたからといって
体積が×pqrsというわけではありません

さらにそもそもでいえば、1辺だけp倍すると、
4点は同一平面上に乗らないので四角錐ができません
同一平面上に乗るように、
他の点も動かなくてはならなくなります

たとえば私の図のように、p=q=r=s=1/2などでも
その理屈が成り立つかといえば、成り立ちません
（相似比1:2なので体積比1:8）
これをもって、いかなる場合も成り立たないとまでは
直ちに断言できませんが、
無理そうなのはわかると思います

平面で成り立っていたから、
空間でも成り立つと捉えたのが間違いです

みみ

回答は三角錐に分けて考えているのですが三角錐なら辺の長さに比例するのですか？

和

確かに、三角錐なら、なりますね