範例11
16+2
空間中「求距離」的應用16
-45==π
在坐標空間中有三點(1,3,2)、B(3,1,2)、C(0,2,4)都在平面E上,設 AB 的垂
直平分面為E,BC的垂直平分面為E,已知E、E與平面x=5交於P點,P點在平
面E上的投影點為Q。試問:
√14
(1)P點到平面E的距離為2/3
(2)QA 的長為 2
由提示-
(1) AB = (2,-2,0),AC=(-1,-1,2)
n
平面E的法向量 平行AB×AC=(-4,-4,-4)
故設 n = (1,1,1),平面E:x+y+z=k,將A(1,3,2)代入
得k=6,所以E:x+y+z=6
PA=PB=PC,P點在平面x=5上
,所以可假設 P(a,b,5)點在平面配
上的投影點 Q 為△ABC的什麼心?
因為P點在平面E上,且E是AB的垂直平分面,所以PA=PB,同理,P點在平面E上
且E是BC的垂直平分面,所以PB=PC,因為P點在平面x=5上,所以可假設P(a,b,5)69
| PA² = PB² ⇒ (a-1)²+(b-3)+(5-2)=(a-3)+(b-1)+(5-2)
PB² = PC2 ⇒ (a-3)+(b-1)+(5-2)=(a-0²+(b-2)+(5-4
⇒ a=b
⇒ 3a-b=7
解
a = b =
7 7
=子,故P(a,b,5)=(3.3.5),P點到平面E的距離為
177
3+2+5
+5-6
=2√3
2
2
√√12+12+12
(2)E與E的交線垂直平面E,所以P點在平面上的投影點 Q 為△ABC 的外心
△PQA 為直角三角形,PA= ,QA=√PA²-PO² = 14
√62
2
=
2
鬼冷
