Question

れもん

赤線のように場合分けするのはなぜですか？🙏
お願いいたします!

54.α を実数の定数とする.xの関数f(x)=x|x-2a|の0≦x≦1における最大値
をMとおく. 以下の問いに答えよ.
(1)Mをαを用いて表せ.
(2) α の値がすべての実数を変化するとき,Mの最小値を求めよ.

(x(x-2a)
(x≥ 2a)
(1) f(x)=
-x(x-2a) (x<2a)
(i) a < 0 のとき,
YA iy=f(x)
.02
(ii) a=0のとき,
y=f(x)
I
1
x
y=f(x) のグラフは図のようであるか
ら, x=1のとき最大となり,
M=f(1)=1
(a>0のとき, f(x)=f(a)(x>2a)を
満たすxがx=(√2+1) aであることに注
意する.
(ア) α >1のとき.
YA
O
la
2a
y=f(x)
x
y=f(x) のグラフは図のようである
から, x=1のとき最大となり,
M=f(1)=2a-1
(イ) a≦1 ≦ (√2+1) α すなわち,
2-1≦a≦1のとき.
YA
y=f(x)
2a
x
y=f(x) のグラフは図のようであるか
ら,x=1のとき最大となり,
M=f(1)=1-2a
al 2a
XC
y=f(x) のグラフは図のようである
から, x=αのとき最大となり,
M=f(a)=a2

(ウ) (√2+1)a < 1 すなわち,
0<a<√2-1のとき.
VA
y=f(x)
a²
0
a 2a 1
x
.22
(√2+1)a
y=f(x) のグラフは図のようである
から, x=1のとき最大となり,
M=f(1)=1-2a
以上, (i)~(Ⅲ)より,
(1-2a (a<√2-1)
M=302
(√2-1≦a≦1)
2a-1 (a>1)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

長飛丸とら

f(x)=x(x-2a) のグラフの概略は
x軸で0と2aで交わる放物線ですが、
0と2aの大小が不明です。
どちらが大きいか小さいか分からないので場合分けです
(ⅰ) 2a ＜ 0 ⇒　a ＜ 0
(ⅱ) 2a = 0 ⇒　a = 0
(ⅲ) 2a ＞ 0 ⇒　a ＞ 0

長飛丸とら

f(x)=- x(x-2a) のグラフの概略も同様に
x軸で0と2aで交わる放物線です

れもん

理解できました！
ありがとうございます🙏