Question

まかろん

数学的帰納法についてです

赤くマークしてあるところで、このようにいうことによってa>0,b>0を示せるということでしょうか？

そうであれば、なぜこのことを言えば示せるのかを教えてください

an+on
3)が自然数,a>0,6> 0 のとき
= (a+b)
n
2
数学的帰納法によって, 次の等式を証明せよ。

an+bn a+b\n
(3)
2
M
[1] n=1のとき
2
① とする。す
7301=
[(1)
a+b
ると
(株)
2591 (左辺)=a+b(右辺)=
よって, ①は成り立つ。
2
[2]n=kのとき,①が成り立つ,すなわち
ak+6k
a+b\k
比
で
(2)
2
2
と仮定する。 d=

n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると,
②から
ak+1+6k+1
k+1
2
a+b\k+1
2
+6
k+1
a+b
a+b k
||
2
2
2
ak+1+bk+1
a+b
a+b
All
2
2
2
2ak+1 +26k+1
ak+1
-
=
-abk-akb-bk+1
4
a
k+1+bk+1_abk-akb
ab
k² $441) =
4 +81 +5
(a-b)(a-bk)
4
この式は, abのときも, abのときも 0
以上になるから
ウー)=28
ゆえに、
ak+1+6k+1
2
(
a+b\k+1
2
4
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1] [2] から, すべての自然数nについて ① は
成り立つ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

いいえ
いまa>0, b>0は大前提にある条件です
これは示すことではありません

②の仮定のもとで、
n=k+1のときの①の両辺の差≧0、
つまり(a-b)(aᵏ-bᵏ)/4≧0を示す場面です

a≧bであればa-bもaᵏ-bᵏも0以上、
a≦bであればa-bもaᵏ-bᵏも0以下なので、
いずれの場合でも（つまりあらゆる場合に）
(a-b)(aᵏ-bᵏ)/4≧0であることが示せました