Question

こんにゃく

Benesse模試の三角関数です。三角関数の最小値を求める問題なのですが、解説の角の範囲がよくわかりません。誰か教えてください

数学Ⅱ, 数学 B 数学C (注)この科目には、選択問題があります。(3ページ参照
第1問 (必答問題(配点 15 )
YA
を原点とする座標平面において, 中心が
で、半径1の円と半径が3の円をそれぞ
CCとする。 <a<B<2mを満たすα
に対して、角αの動径と C, との交点をP.
角の径との交点をQとするこの
とき、P(cosa, sing), Q (3cosβ, 3sinβ) と
表される。
3
-3
-1
0
1
13 エ
a
G
(1)分PQ1:2に内分する点を R(X, Y) とする。 X をα, B を用いて表すと
ア
X=
であり、同様に、Yをα. βを用いて表し, OR を計算すると
OR-X+Y'
I
ウ
オ
であるから、線分OR の長さの最小値は
である。
(数学Ⅱ. 数学B. 数学C第1問は次ページに続く。)

解法
(1)
m
2点P Qの座標は
P (cosa, sina), Q (3cosβ, 3sinβ)
であるから, 線分PQ を 1:2に
内分する点R(X, Y) の座標は
2・cosa +1.3cosp
X =
1+2
三角関数
2
Y =
2
2 cosa +3 cosẞ
3
2.sinα +1.3sin β
1+2
2 sinα+3sinβ
3
1
である。 よって
1
OR2= X2+ Y
(2cosa+3cosβ) 2
点
点
32
+
(2sinα+3sinβ)
32
=1/12 (4cosa +12cosacos/+9cos²β)
1
・B
3 x
a
内分点の座標
2 (n, y), (n. y
分をmiに内分する点
nx; +mx;
ny, +
min
+
解法の糸口
X'+Y* の式を三角間
互関係や加法定理を用
のみで表し、最小値を
==
9
// {4 (cos' ar+sina) +12 (cosa cosfβ + sinasinβ)
+ 1/2 (4sin' a + 12sinasinβ+9sin*B)
三角関数の相互関係
+9(cos"β+sin"β)}
ここです。
sin"0+cos^0=1
余弦の加法定理
19 19
{4+12cos(a-β)+9}
= 13+ cos (a-3) (0)
4
3
0 <α <B< 2πより, -2π <α-B0 であるから,-1≦cos(a-B) <1
である。 よって, OR は cos(a-β) = -1 すなわち, α-β
なり, 線分 OR の長さの最小値は
で最小と
cos(a+β)=cosacosβ-
cos(a-B)=cosacom
(2)
13 4
19 3
(i) β = 2α のとき
PS = sina
QT = 3sinβ
== 3 sin 2a = 6 sina cosa
4点P, Q, T, Sを順に結ぶと,
長方形 PQTS となるとき
PS=QT より
sina = 6sina cosa
sina (6 cos a-1) = 0
0 <α < 1より, sinα≠0
Q
P
0
S
3x
D
<< 21/2より、B-20m
0 <Bであるから、点
より上側にある。
P(cosa, sina),
Q(3 cosß. 3sing),
S(cosa, 0).
T(3cosβ, 0)
である。
2倍角の公式
sin20=2sin Ocoso
▼点Pは第1象限にあるから
<<