Question

チナミ

統計の問題なんですけど、赤い四角で囲っている式から🟥〰︎︎になる意味が分かりません。
ただ計算してもそうならなくて…

できれば赤い四角になる理由も教えていただきたいです。

数学II, 数学 B 数学 C
(2) 今年は予算の関係で, K市の住民全員に対する調査はせず, 標本調査を行っ
以下では, 今年のK市の住民全員を母集団とする。
(i) 母集団においてa を選ぶ人の割合を推定するために, 母集団から無作為に
600人を抽出し, この600人がアンケートに回答した。 このとき, a を選んだ人
の割合をRとする。 標本の大きさ600 は十分に大きいから,Rは近似的に正規
分布に従うとしてよく, Rの平均は
セ
標準偏差は
ソ
である。
24
600人のうちa を選んだ人は240人であった。 このとき,Rの値は
60x
TO
タ
チ
であり,標本の大きさ600は十分に大きいから, pに対する信頼度 95%の信頼
区間は ツ である。
(ii) 母集団においてdを選ぶ人の割合を g とする。
標本比率が0.2 であるような無作為標本から得られるαに対する信頼度 95%
の信頼区間の幅Lについて考える。 ただし, 信頼区間が m≦g ≦M のとき,
その信頼区間の幅を Mm と定める。
Lを0.04以下にするために必要な標本の大きさんのうち,最小の自然数を
nn とすると, no= テ である。なお, n は十分に大きいとしてよいとす
る。
(数学II, 数学B, 数学C第5問は次ページに続く。)
て

であるから 20000 は
8(16"-1) 20000
15
すなわち
16" 37501
となる、 自然数が増加すると16"も増加し
16-4096<37501,
16=4096x16>4096x10-40960>37501
よって、 X108 となる確率は
P (X108)
= P(X-90108-90)
=P(Zz2)
-P(Z≥0)-P(0 ≤ Z ≤2)
-0.5-0.4772
y=f(x)
=0.0228
であるから, 求めるかは
第5問 統計的な推測
である.
(1) 昨年における, K 市の住民全員の商業施設Sに関するアンケー
トの結果は次の表のとおりである。
a
b
C
a
計
|割合
30%
10%
40%
20%
100%
■二項分布
表より, bを選んだ人の割合は、
であり, dを選んだ人の割
10
試行T で事象Aが起こる確率が
であるとする.
240
600
5
であり, 標本の大きさ600は十分に大きいか
である.
=0.023
(2)(i) aを選ぶ人の割合(母比率)がである母集団から無作為に
600人を抽出したとき、標本の大きさ600は十分に大きいから、
600人のうちaを選んだ人の割合(標本比率) Rは, 近似的に正
p(1-p)
規分布 NV(b,600 2)) に従うとしてよく。Rの平均は
標準偏差は
(1-2) 0 である.
600
a を選んだ人は240人であるから,標本比率Rの値は,
2
標準正規分布 N(0, 1)に従う確率
Zの確率密度関数は
f(x)-
で、曲線 y=f(z) はy軸に関し
称であり、次の等式が成り立つ。
P(-usZs0) = P(0 ≤Zsu),
P(Z10)=P(20)=0.5.
は正の数)
比率である母集団から無作
為に大きさの標本を選んだときの
標本比率R は、 が十分に大きいとき
合は1/3である。
(i) 母集団 (昨年のK市の住民全員)から900人を無作為に抽出
したとき, bを選んだ人数を表す確率変数Xは二項分布
この試行Tを独立に回行った
とき, 事象Aが起こる回数を表す
確率変数を X とすると
P(X=r)=C,p"(1-p)"-r
(r=0, 1, 2,...,n)
が成り立つ。このXが従う確率分
布を二項分布といい, B(n, p) で表
す。
近似的に正規分布 ND, 21-6)
母比率に対する信頼度 95%の信頼区間は
に従う。
-1.96 × √
(1)
600
sps+1.96x,
600
母比率の推定
B(900, 1/10) に従うので,Xの平均(期待値) E(X) は
すなわち
0.36080.4392
E(X)=900×
90
となるから
10
標本比率をR とすると、 標本の
大きさが十分に大きいとき母比
に対する信頼度 95%の信頼区
間は
であり, Xの標準偏差 o(X) は
(x)=1900×110×(1-1/10)
=
9
二項分布 B(n, p) に従う確率変
数Xに対し, Xの平均(期待値),
分散、標準偏差はそれぞれ
②
20.36 0.44
である.
R1-R)
R(1-R)
R-196x
SSR+1.96x
である.
である.
また, d を選んだ人数を表す確率変数は二項分布
E(X)= np.
V(X)=np(1-p),
o(X)=√np(1-p)
(標本比率が0.2(-1/2)であるような大きさの無作為標
本から得られる母比率」に対する信頼度 95%の信頼区間は、
が十分に大きいとき
1
B 900
に従うので,Yの標準偏差 (Y) は
である.
5
標準正規分布
(Y) = 900 x
0×× (1-2)=12
-1.96 ×√
sqs+1.96×
n
n
平均0, 標準偏差1の正規分布
すなわち
4
であり,(Y)は(x)の12倍 すなわち、
倍である.
3
(i) X108 となる確率を求める。
N(0, 1) を標準正規分布という.
二項分布 B(n, p) に従う確率変
X-np
と
数Xに対し, Z=-
√np(1-p)
0.4
mg≦0.2+1.96x-
0.2-1.96x-
0.4
√n
√n
である.
これより
20
おくと, 確率変数Zは, nが十分に
9
とおくと, 標本の大きさ900は十分に大きいか
大きいとき 近似的に標準正規分布
L=
ら Zは近似的に標準正規分布N (0, 1) に従う。
2-(0.2+1.96×24)-(0.2+1.56×24)
N (0, 1) に従う,
-42-
-43-
文明を広め

=
2x1.96 × 0.4
である.
√n
de 801
Lを0.04以下にするために必要な標本の大きさは
2x1.96 × 0.4
≦0.04
√n
13510-20-
0.0-
すなわち
ó39.2
・① 200
を満たす自然数nである。 ①の両辺は正であるから、両辺を2
乗して整理すると
n≥ (39.2)²
すなわち
n≧1536.64
である. したがって, ① を満たす最小の自然数n の値は
no=1537 である. ②

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まろん

式変形がわからないということでしょうか？
これでどうですか？

チナミ

遅くなってしまい申し訳ありません💦
綺麗にまとめて下さりありがとうございました。助かります！