Question

ソル（長文になっておりますが、自己紹介を見てもらって、それでもいいよと思っていただける方に回答してもらいたいです🙇‍♀️💦）

黄チャートの数BのPR12の（2）の問題で、赤でマーカーを引いているところの式変形がわかりません。（→の先の式がどうなってできたのかがわかりません。）解説よろしくお願いします🙇‍♀️

PRACTICE
122
100104-2)
(1) 第3項が12,第6項が96である等比数列 (公比は実数) において 第項
は3072であり, 初項から第 項までの和は513である。
は3072であり,初項から第1
20.1
(2) 実数 r>0 を公比とする等比数列 an=arn-1 (n=1,2, .・・・・・) において, 初項か
ら第5項までの和は16で,第6項から第10項までの和は144である。 このとき,
第11項から第20項までの和を求めよ。 001
[愛知]

よって
n = 19
(2)等比数列の初項をα,公比をr,初項から第n項までの和
をSとする。

ここで,r=1 とすると S5=5α, S10=10α
5a=16,10α=16+144=160 を同時に満たすαは存在しない。
よって, r≠1 である。
さ
a(1-5)
ゆえに S5=16 から
=16
1-7-118
S10=160 から
a(1-10)
1-r
=160
・①
②
1-z'=1-(25)²= (1-5) (1+r) であるから,②より
Ba(1-r³). (1+5)=160
16(1+r5)=160
<等比数列の和の公式は
r≠1, r=1 の2通りあ
る。よって, r≠1 がわ
かるなら、必ずこのこと
を断っておく。
1-r
①を代入して
よって
1+25=10
すなわち r5=9
(3
a(1-9)
このとき,①から
=16
1-r
ゆえに a=-2(1-r)
..
④
したがって,③, ④から,求める和は1
a(1-r20) α(1-r10)
EE S2o—Sto=“
1-r
1-r
7?
-2(1-2){1-(25)4} -2(1-r){1-(2-5)2}
1-r
=2(9^-1)-2(92-1)=12960
atartare+ar3+ar4=16
1-r
SE
①
②
よって5=9
別解 条件から
ar+are+ar7+ar+ar=144
②から
① を代入して 165=144
r(a+ar+ar2+ar3+ar4)=144
したがって,第11項から第20項までの和は
12
aritari+ari+..+ar1=rlo(a+ar+are+....+ar)
a
1-r
== -2
として, S10, S20 を求め
てもよい。
和の公式を使わない解
法。
=92(16+144)=12960

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

AZ

aに-2(1-r)を代入して、指数法則
r^20=(r^5)^4,r^10=(r^5)^2を適用すると下の式になります。

ソル（長文になっておりますが、自己紹介を見てもらって、それでもいいよと思っていただける方に回答してもらいたいです🙇‍♀️💦）

なぜ2(9⁴-1)-2(9²-1)=12960になるのかもわかりません…解説していただけないでしょうか？

AZ

2(9⁴-1)-2(9²-1)
=2(9²+1)(9²-1)-2(9²-1)
=2(9²-1)(9²+1-1)
=2・80・81
=12960
もちろん、そのまま計算しても良いです。