Question

りんご

(2)についてで、黄色の付箋のようにやったのですが、解答と違って、この後どうすれば良いのか分かりません、教えて欲しいです🙇‍♀️(黄色の付箋のの3から4行目はxの恒等式として考えました)

必解 198.
実数a, b, c, d が ad-bc ≠0 を満たすとき, 関数 f(x)=
ax+b
について, 次の問
cx+d
に答えよ。
f(x) の逆関数f'(x) を求めよ。
f1(x)=f(x) を満たし, f (x) ≠x となる a, b, c, d の関係式を求めよ。
[東北大・理系 改]

(ax+b) (cx-a)
+ (cx+dxdx-h)=0
acx² a²²x + lcx-al
13x11+ cdx²bcx+dx-hd
=(for
めよ。
の式を推
=0
x²(acted) -x (a²-d²)
-al-hd-0
actod=0
a² d²=0
-ah-ed=0
改]
て証明
幌医大
応
とする

④から
a0 であるから
x=
dy-
a
よって、④の逆関数は
y=-
dx-b
a
[1], [2] から, 求める逆関数は
(2)f'(x)=f(x) から
ゆえに、③は c = 0 のときも成り立つ。
f-1 (x)==dx+6
-dx+b ax+b
=
cx-a
cx-a
cx+d
分母を払って
整理すると
(ax+b)(cx-a)+(cx+d)(dx-b)=0
(a+d){cx²-(a-d)x-b}=0
・⑤
ここで, f(x) ≠x すなわち
ax+b
cx+d
≠x から
cx2-(a-d)x-b≠0
したがって, ⑤から
a+d=0
逆に,a+d=0 のとき d = -a であるから
ax+6
ax+b
f(x)=
=
f-1(x)=-
-dx+6 ax+b
=
cx+d cx-a'
cx-a
Cx-a
よって, f-1(x)=f(x) を満たす。
さらに,c≠0 のとき,f(x)は分数関数であるから f(x)≠x を満
たす。
c=0 のときも f(x)=
ax+b
= x から f(x)≠x を満たす。
Cx-a
以上から
b
a
a+d=0(b,cは任意の実数)
199 〈分数関数の合成関数 >
(2)(1)の結果から,分子のxの係数(分母の定数項) を an とすると,
となると

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

因数分解すると、答えが見えてくると思いますよー

りんご

すいませ、まだ分からないので具体的に教えてもらうことは可能でしょうか、、、？？

GDO

３つの式を因数分解すると、
c(a+d)=0
(a+d)(a-d)=0
-b(a+d )=0

a+d=0であれば３つの式を満たします。

また、a+d≠0のときはc=0,a=d,b=0となりますが、
このとき、f(x)=xとなってしまうので
条件f(x)≠xを満たしません。

よってa+d=0が関係式となります。
(b,cは任意：何でも良い)

りんご

なるほど！納得しました！丁寧に答えていただきありがとうございました！