数学
高校生
解決済み
体積までは出せるのですが、cosθの値が出せません。
解説を見ると、AM＝FM＝√2/2a sin60°となっているのですが、なぜそのような式になるのかが分かりません。
1辺の長さがαである立方体の各面の中心 (対角線の交
点)を結んでできる正八面体について考える。 この正八
面体の1辺の長さはであり、体積は
で
ある。また、辺を共有する2つの面のなす角を0とす
ると, cose="
である。
132 (正多面体)
右の図1のように, 正八
13面体の頂点を定める。
平面 BCDE で立方体を
切ったときの断面は,
図2のようになる。
△BCD は直角二等辺
図1
A
E
B
C
F
図2
D
三角形であるから,正八
面体の1辺の長さは
E
BC=
・a
5
2
正八面体の体積は,正四
B108
角錐 ABCDE の体積の2倍である。
正方形 BCDEの面積は
2
√2
a²
・a
1
2
2
や点下に関係なく常に
正四角錐 ABCDE の高さは
よって, 正八面体の体積は
a
2 AMAR
a²
2
イ
a
x2=
SS3 22
a
3
6A
C
また,辺 BC の中点をM 3
A
とすると
280
✓2
C
AM=FM=-
asin 60°
M
2
BA
ADED√6
=
F
a
4
よって、AMFにおいて、余
よって、AMF において、余弦定理により(I)
AABE 2
cos@=
使用味
よって
1
2
2
a
a
4
2
a
4
4
一同
AT3 AD EF
AD'EF
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