Question

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請求詳解，謝謝！

觀念是非題:正確請填,錯誤請填X,每題2分,共10
(A)1.函數f(x)=
1
的定義域為所有實數的集合。
2
x+1
(e)2. 函數 f(x)=logzx是一對一函數。
'x

x+a
rx + + α x + a
進階題:每題9分,共27分
x+a
a = -2#
其定義域
1.設f(x)=x²+6x+8,其定義域為{x∈R-4≤x≤1},且g(x)
為{x∈R-6≤x≤6, x≠0},試求(gf)(x)的值域。
4
解
2
g (8(a))
gε & (7))
1
,
3

Answer 1

qn

左：
分母不能為 0
⇒ √(1+x²) ≠ 0 （所有實數都符合）
根號內非負
⇒ 1+x² ≥ 0 （所有實數都符合）

右：
先找 f 值域
f(x) = x²+6x+8
= (x+3)² - 1
-4 ≤ x ≤ 1 ⇒ -1 ≤ f(x) ≤ 15

但是 g 的定義域只有 -6≤x≤6, x≠0
所以 f(x)>6 和 f(x)=0 的部分就不管了
現在 g 的輸入範圍是 -1≤f(x)≤6, f(x)≠0

因為 g 是倒數函數，我們要把正負部分區分開來
當 -1 ≤ f(x) < 0 時，g(f(x)) ≤ -1
當 0 < f(x) ≤ 6 時，g(f(x)) ≥ 1/6

所以 g(f(x)) 的值域就是 { y∈ℝ | y≤-1 或 y≥1/6 }