Question

︎︎

(2)
1行目のx^5-1のところなんですけど、思いつきですか？？なんで思いつくんですか、、🥲

(2)整式x2023-1 を整式 x + x3+x2+x+1で割ったときの余りを求めよ。
[23 京都大 ]
2 恒等式・割り算の問題 +++
7

(2)x-1=(x-1)(x+x3+x2+x+1) であるから
x20231=x3(x2020-1)+x3-1
=x3(x5-1)(x2015 +
x2010
+ +x + 1) + x 3 - 1
=x(x-1)x'+x+x2+x+1)×(x2015+x2 +..
2010
+x+1)
+x3-1
よって、 求める余りは
key x 2020-1 は x-1 を因数
もつことを利用する。
上
立温

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

これはよくある公式です
x²-1 = (x-1)(x+1)
x³-1 = (x-1)(x²+x+1)
x⁴-1 = (x-1)(x³+x²+x+1)
同様に
x⁵-1 = (x-1)(x⁴+x³+x²+x+1)
……

万が一知らなくても、
因数定理からx⁵-1はx-1を因数にもちます

︎︎

x^5-1を使うことを思いつくのはx^4+…+1で割ると書いてあるから思いつくよね～ってことですか？

和

そうですね、x⁴+x³+x²+x+1を見ると
x⁵-1 = (x-1)(x⁴+x³+x²+x+1)は連想されますね