Question

ハジメ

この問題の解答を作っていただけませんか。院試の勉強に役立てるつもりです。

問題1
粒子の質量 m、ばね定数K の1次元調和振動子を考える。波動関数
y=N.exp( 26 ) yo
N=exp(-1211 ) exp(61) - 2017(6)
00:
=
non!
を考える。ここで、yは1次元調和振動子の基底状態、*およびらはフォノンの生成および消滅演
算子 z は複素定数である。 (4) (5) の解答はm、 K を用いずに、講義でも用いた実定数
1
a =
V
h
= = ħ² (mk) = ½
4
mo
z、および、hを用いて表せ。
(1)は規格化されたエネルギー固有関数y=(6) を用いて
8 1
y = N₂Σ
n=0 Vn!
と表すことができることを示せ。
(2)yが演算子の固有関数であることを示せ。 さらに固有値を求めよ。
(3)が規格化されていることを示せ。
(4)yによる位置演算子の期待値x、運動量演算子のx 成分 px の期待値を求めよ。
(5)位置のゆらぎ4x=√<yl(i-xy)、および運動量のx成分のゆらぎ4p=<yl(p.-P)^v)を
を求めよ。 この結果を用いて、不確定性関係が満たされていることを確認せよ。
(6) 初期条件(0)=yの場合の時間に依存したシュレディンガー方程式の時刻 t での解をy(t) と
表す。B(t)=(y(t) (1) とする。 〈4 (1) 6y(t)) をB(t) を用いて表せ。
(7) B(t)の満たす微分方程式を導出し、その一般解を求めよ。
(8)時刻tでの解y(t)による、位置、運動量のx成分の期待値を求めよ。初期状態のzは z=rexp(i0)、
ここでおよび0は実数である、で与えられるとし、期待値を、a、r、 0、 w、 t、および、hを用
いて表せ。

問題2
(1)軌道角運動量演算子の z 成分 L の固有関数Φでは軌道角運動量演算子の x 成分Îと軌道角運
動量演算子のy成分Îの期待値がゼロになることを示せ。
ヒント 軌道角運動量演算子の交換関係の両辺の期待値をとってみる
(2)はÊの固有値0の(Z=0の)固有関数である。L、L, および L は互いに可換ではなにもか
かわらず、がLx と L および L の固有関数になっていることを示せ。
(3)位置と運動量の不確定関係(7.7)は、これらの演算子が可換でないこと [x,ê] = in ≠ 0 が起源と
なっている。(2)で示した例が、 演算子が可換でないにも関わらず、 同時固有関数となり可換でな
い二つの演算子期待値が同時に確定していることが、 不確定性関係と矛盾しないことを示せ。

量子力学