Question

理

数学の複素数平面の問題です。
この問題の、「コ」の答えがなぜ-90°になるのか解説を読んでも分かりませんでした。どういう考えで左辺のargの式から-90°になるのか教えて頂きたいです！

• 191 複素数平面上の図形
複素数平面上で
20=(3+i) (cos0+isin0)
4{(1-sin0)+icos 0}
2
=
(1-sin0)-icos 0
22=
Z1
E
の表す点をそれぞれPo, P1, P2 とする。 ただし, 0°0 <90°とする。また, argz
は複素数の偏角を表すものとし、 偏角は180°以上 180°未満とする。
(1) zo
arg zo=
/イ
○+0 である。
(2)1の分母と分子に (1-sin) +icose をかけて計算すると
Z=ウ-sin0 + icose) となる。 よって, | z1|=|エ
arg21= オ +0
である。
Z1
(3)
カ
ZO
Z1
|arg=|
。
キ
であるから, P.Pi=
クである。
20
(4) 原点 0, Po, P1, P2の4点が同一円周上にある場合を考える。 このとき
∠OP2P を考えると arg
21-22
-22
。
== コ であるから,
ス
サ
Cos 20- シ=0が成り立つ。 よって sin0 = ¥
となる。
セ
(センター試験)

191 APPROACH
OP.P. がどんな三角形かが (3)によって判明するので,(4)で4点が同一円周上にある
とき OP,P,=90° であることがわかる。
(1) 3+i=2(cos 30°+isin 30° より
[20]=13+illcos 0+isin0|
-2-1-72
20100
arg2 = arg (√3+i) +arg (cos0+isin0)
(2)の分母は
=130°+0
{(1-sin6)-icos 6}{(1-sin0)+icos 0}
=(1-sin6)2+cos20
=1-2sin0+sin+cos20
=2(1-sin0)
z=r(coso+isine)
において
け
あぁなほじ
|2|=r
argz=0
sin'0+cos20=1

よって、
となるので,
21
の分子は
(1-sinb)+icos Q}2
=4{(1-sin)2+2cos0(1-sin0)i-cos20
=4{(1-sin)2+2cos0(1-sin0)i-(1-sin20)}
=4(1-sin){(1-sin)+2icos0- ( 1+sin0 ) }
=8(1-sinθ)(-sino+icos0 )
したがって
21=
8(1-sin6)(-sin0+icose)
2 (1-sin0 )
=4(-sin+icos)
=4icos(90°+6)+isin(90°+0} ...... ①
||=14, argz1=オ90°+0
分母にI-ainという
数があることを意識して整
理する。
<< 1-sin'0
=(1-sin) (1+sind)
S
981
bas
Sin
(3)(1),(2)より
Z1
Z1
4
=カ2
Zo
2
201
Zo
21 =argz-argzo=(90°+0)-(30°+0=60°
arg
からまで回転した角度
P₁(21)
よって、OPP において
OPo
OP1=2, ∠POP=60°
|21|=4
Po(zo)
60°
であるから, OPP1 は辺の長さの比が1:23
20=2
0
角三角形となり,PP1=2√53
であるから
(3)よりOPP=90° となるので, OPP1 の外接円
は、辺OP を直径とする円である。 点P2 も同じ円上の点
93だから、ここまでわかる
∠OP2P1=90°
2
22- より
↓
Z1
-2402 = 2 (cust+isinx) +2=;
argz=arg(-2)-argz=180°(90°+0)=90°-6
0°<6<90°より, az >argz2
だから
①
arg-
2-22-
22
=-=90°
..②
3-22_Z1+1=2+1
-Z2
=
Z2
P1 (21)
xP2 (22)
42{cos (90°+0)+isin(90°+0)}
-+1
XC
90°+0>90°-0
22
14
2
複素数平面
173

複素数平面

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

図に描きました
ベクトルとの関連をイメージするとよいと思います

理

ありがとうございます！図大事ですね！