Question

冬

（3）の問題で、解答の青線部の変形がわかりません。
画像見づらくてすみません。教えてくださる方いたらよろしくお願いします。

nを自然数とする。 zを0でない複素数とし,
S=z-2n+z-2+2+2-2n+4+....+2+1+2+......+24+22n-2+22n
とする。
(1)S-S を計算せよ。
(2) iを虚数単位とし, 0を実数とする。 z = cos0+isin0 のとき, 自然数に対して、
z-k + 2 の実部との虚部を0とんを用いて表せ。
(3) 0を実数とし, sin0≠0 とする。 次の等式を証明せよ。
n
sin(2n+1)0
て
1+2 cos 2k0=
k=1
sinO
[23 茨城大・理
436
1

(1) z¹S=2-2n-1+2-2n+1+......+z2n−3+22n-1
zS=2-2n+1+z2n+3+......+2n-1+2n+1
よって
z¹S-25=2-2n-1_2n+1
(2) z = cos 0+isinė
2+2 = cos(-k0)+isin (-k0)+cos k0+isinko
= 2 cos kl
よって、+ の実部は
2 cos ke
また
2-2 = cos(-ko)+isin (-ke)-(cos k0+isin k0)
= -2isin ko
よって、スーターズの虚部は
-2 sink0
◆ド・キ

(3)(2)より
n
n
1+2 cos 2k0=1+(22k+22k)
k=1
k=1
2n
= 2 − 2n + 2 - 2n+2+...... + 2 ²n-2 +227
=S
①
(1)より
(z1-2)S=-2n-1_2n+1
(2)より, z-k-zk=-2isink0 であるから
-2isine S-2isin (2n+1)0
<+2+z = -2i
sin (2n+1)0
おいて k=1, 2
sin 0 0 であるから
S=
②
sin
て代入する。
n
よって, ① ② から
1+2 cos 2k0=
k=1
sin (2n+1)0
sin

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

単にΣを使わず書くだけです

冬

画像を使って説明してくださりありがとうございます！ようやく理解できました！