Question

みーちゃん

この二項定理の途中式教えてください。
変な感じになっちゃって、

■解答
an
an
Cn
→a, bn→aならば
→∞ならば6万
2 an≦b で
COS
an
nπ が成り立つことを利用。
S
(1)不等式 121/cos 10
n
n
n
3
(2) 0.01=hとおくとき, (1+h)"≧1+nh が成り立つことを利用。
n
nπ
nπ
(1) -1≤cos
≦1 であるから
S COS
S
3
n
n
nπ
= 0 であるから
=
3
non
3
(-1) = 0, lim
lim(-2)=0,
(2) 0.01=hとおくと 1.01=1+h から
二項定理により
lim COS
72-80 n
(1.01)"=(1+h)"
20
a
80
y=cosxの値域は
-1≤y≤1
(2)二項定理
(a+b)"
=
"
Ca
86② lim(vn²+
81U
87 ③ 次の極
(1) li
n-
88 ② 分子
89 ③
値を
n(n-1)
(1+h)"=1+nh+ 2
-h²+...+h"
h0 であるから
(1+h)"≧1+nh
n≧2 ならば
lim(1+nh)=∞ であるから
lim(1.01)"=8
(1+h)" >1+mh
90 ③
n18
12700
Lecture 数列の極限と不等式
p.132 で示した極限の性質1~4のほかに、次のことが成り立つ。なお、すべての代
りに, ある自然数より大きいすべてのとしてもよい。
5 すべてのnについて an≦b のと
6 すべて
lima=α limb=8ならば
919

Answer 1

鯛のお造り

ほぼ二項定理の証明になってしまいますが…

(1+h)^nはhのn次式なので、展開した形は、k次の係数をa{k}として、
　(1+h)^n
　　=(1+h)(1+h)(1+h)…(1+h)　…①
　　=a{0} + a{1}h + a{2}h^2+ … +a{k}h^k+… + ‪a{n}h^n
と表せます。

定数項は、①で、それぞれの括弧からすべて1を選んで掛ければ得られますが、そのような方法は1通りなので、a{0}=1です

1次の項は、①で、それぞれの括弧から1つだけhを選び、後は1を選べば1次式になりますが、そのような方法はn個から1個選ぶ、すなわちnC1=n通りあるので、a{1}=n

2次の項は、①で、それぞれの括弧から2つhを選ぶので、a{2}=nC2=n(n-1)/(2･1)=n(n-1)/2

以下同様に、k次の項は、それぞれの括弧から、k個hを選べばk次になるので、a{k}=nCkとなります

以上より、
　(1+h)^n = 1 + nh + {n(n-1)/2}h^2 + … + nCk･h^k + … + h^n
　　　　　=∑[k=1～n] (nCk･h^k)