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1260は、2²×3²×5×7と素因数分解できるので、36個の約数を持つ。これら全てについて条件を満たすかどうかを調べるのは大変なので、nが偶数のとき、奇数のときで場合分けをしてみる。
❶nが偶数のとき
n=2k (1≦k)と置くと、n²-1=4k²-1となり、n²-1は奇数で、4の倍数から1を引いた数だと分かる。つまり、奇数の約数に1を足せば4の倍数になる。
1260の奇数の約数は3²×5×7より、1,3,5,7,9,15,21,35,45,63,105,315だから、これらに1を足して4の倍数になるものは、3,7,15,35,63,315。
2≦nであることを踏まえて、
n²-1=3のとき、n=2
n²-1=7のとき、n²=8で不適
n²-1=15のとき、n=4
n²-1=35のとき、n=6
n²-1=63のとき、n=8
n²-1=315のとき、n²=316で不適
よって、n=2,4,6,8
❷nが奇数のとき
n=2k+1 (1≦k)と置くと、n²-1=4k(k+1)。kとk+1は2つの連続した自然数の積なので偶数となり、n²-1は8の倍数となる。しかし、1260は、2²×3²×5×7と素因数分解され8の倍数ではないので、8の倍数を約数に持たない。
従って、条件を満たすnは存在しない。
これらのことから、n=2,4,6,8となる。
