Question

りゅう

（3）について

（1）より、のあとどっから出てきた値ですか？
どう出てきたか分からないので教えて欲しいです。
また、どうやって赤色の式を立式したのか。

立式後の計算過程はわかるのですが、
最後の1文の式も理解出来ません。

多いですが全て教えて欲しいです。

政宗
3
単調
基本 例題 019 有界で単調減少する数列の極限
次の条件で定められる数列{an} について,以下のことを示せ。
★★
[基本
a>2
この
1
a=2, an+1=
an
an
2)
=(a+) (n=1, 2, 3, ....)
(1) すべてのnについて an≧2
(2)数列{az} は単調に減少する。
指針
(3) 数列{a} は √2 に収束する。
指針 この漸化式はニュートン法(p.96 参照) によって構成され, 近似値 2 を与える計算方法
1つである。
(1)帰納的にa>0であるから,相加平均≧相乗平均の関係を利用する。
(3) はさみうちの原理を利用して, lim an-√21=0 を示す。
12100
解答 (1) α=2>0 であり,漸化式の形から,すべての自然数nについてan>0である。
よって,相加平均と相乗平均の関係から,任意の自然数nについて
11 = 1/2 (an + 2 ) 2 1 1 · 2 √an · 2 =√2
an+1=-
an
an
=2√2 であるから,すべてのnについて
全体
>
「or
an≧√2
ord
-ano
(2) 任意の自然数nについて
anz
anti-an=
2
= (a + 2)
-
2-an
-an=
両認して、
2
2an
(1)より, an≧√2 であるから
an = 2
2.
an²≤0
ゆえに
2-an≤0
anti-an
解答
よって, an+1≦an であるから, 数列{az} は単調に減少する。■
(3) 与えられた漸化式により
an-√2
より
2an
an+1 1
an2-2√2 an+2(an-√2)2
S
an
2an
2-12 であるから
2an
√2 = 1½ (an - √2)
0≤an-√2 ≤ (1) (a-√2)
よって
lim
(1)
(-√2)=0であるから
1\n-1
2an
an-√2
antl
20n
-(an-√2)
F=/(an-2)
a) - 2 ½ £ (an-√=))
ant-2FanF
liman=√2
818
an
an
089-2
osan-
2
参考
lin
n-
0500-12

Answer 1

哲治

単に高校でやった２項間漸化式で番号を下げていってるだけ。

哲治

ちなみに最後の一文ははさみ打ちの原理です。

りゅう

単に高校でやった２項間漸化式で番号を下げていってるだけ。

これを忘れてしまったのですが、どうしらべたら出てくるでしょうか？

さっき調べてたんですけど全然分からなくて､､

哲治

実際に添字を一つずつずらして何回か書き下せばわかると思います。