wayという名詞はin 〜wayというふうに前置詞を伴って副詞的な表現をするのですが、
この前置詞inが落ちてしまいがちなのです。
（画像参照）
その点から、そもそもwayは副詞としても使います、という説明がされることもあります。
文法の用語では「副詞的目的格」という、より大きな文法事項とも関わるのですが
例えばyesterdayは名詞だけど、He studied English yesterdayというふうに単独で副詞にもなる。
これは、on yesterday と表現しても間違いではないけどonは書かなくても大体通じるのでonが落ちてしまう
というようなことです。
それがwayで起きているのです。
画像の辞書では in a … wayとなってますが、
限定詞はaである必要はありません。
family heritageについて書き忘れましたが
その前の下線部の解釈と関係があると思います。
heritageは「遺産」と覚えるかもしれないけど
「代々引き継いでいくべきもの」みたいなイメージです。過去の産物のなかで価値のあるもの。
下線部の後半で、「常に一番じゃなきゃいけないという考えで育ってきたものですから」と言っていて
family heritageという語句自体は、そのあたりのことを受けた表現です。
だからfamily heritageは家族の"伝統"とかでも訳としてはいいかなと思います。
don't you know？は、
なにか文章作法が関係しているというよりは
会話調の、自然と出た表現だと思います。
よく会話の中でyou knowとか言ったりするように、読み手に共感を求めてるんですけど、
「(そんなことも)わかんないの？」あるいは、「わかんないですよね？」というような
上から目線のニュアンスだと思います。
一番じゃなきゃいけないという考えに悩みつつ、でもその考えに染まってるので、
ちょっとプライド高い感じなんですかね。
文構造は強いていうならば
Don't you know [前の部分] is family heritage?
ということかなと思うんですが、
先に書いたyou know みたいな会話のなかで自然に出る表現だったり、あるいは付加疑問文みたいな表現にも近いのかもしれません。
整った文章語という感じじゃないのは確かなので、きちっと文構造を取るというのが難しいです。