Question

kAlice

初めて質問します。
この問題の答えがなぜ 2kq/rになるのかがわからず答えを導き出せません。
教えてくださると助かります><

問6 細くてまっすぐな十分に長い導線がある。 この
導線は,一様に帯電していて, 単位長さあたり
g[C] の正電荷が分布しており,電気力線は導
線に垂直に出ている。 導線から垂直に[m]離
れた点の電場の強さを求めよ。
導線
(2k
2koq
[N/C])

物理 電気と磁気 電場

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

図のように座標軸をとり、原点をOとする
Oからx方向にr[m]離れた点をA、Oからy方向にy[m]離れた点をBとする
Bを含む長さdy[m]の微小区間に含まれる電荷をQ[C]とすると、導線の電荷密度は1mあたりq[C]なので、Q=q･dy
AB間の距離をd[m]とし、QがAに作る電場の強さをE[N/C]とすると、E=kQ/d²=kq･dy/(r²+y²)
これをy=-∞からy=∞にわたって足し合わせたものが、Aの電場の強さである

Eのy方向成分は互いに打ち消し合うので、x方向成分だけを考えればよい
∠OAB=θとすると、Eのx方向成分は、Ecosθ=kq･cosθdy/(r²+y²)
よって、求める電場の強さは、∫(-∞～∞){kq･cosθ/(r²+y²)}dy
dyをdθに置換：
y=r･tanθ　⇒　dy=r･dθ/cos²θ
y=-∞のとき、θ=-π/2
y=∞のとき、θ=π/2
r²+y²=r²(1+tan²θ)=r²/cos²θ
したがって、∫(-∞～∞){kq･cosθ/(r²+y²)}dy=∫(-π/2～π/2){kq･cosθ/(r²/cos²θ)}(r/cos²θ)dθ
=(kq/r)∫(-π/2～π/2)cosθdθ
=(kq/r)[sinθ](-π/2～π/2)
=(kq/r){sin(π/2)-sin(-π/2)}
=(kq/r){1-(-1)}
=2kq/r

kAlice

分かりやすい説明ありがとうございます！
本当に助かります^^