Question

みみ

数3複素数平面の問題なのですが、(2)でZ=1が③の解でないと書いてあるのですがなぜそのようなことがわかるのでしょうか？

練習 (1) n を自然数とするとき (1+z) (1-2) 2" をそれぞれ展開せよ。
133 (2) 3. f(z) = 2nC1 z+2nC32³ ++2n C2n-122n-1
f(z)=0
(1) 二項定理により
kл
z=±itan (k=0, 1, ......, n-1) と表されることを示せ。
2n
(1+2)=2nCo+2n C₁ = + 2n C₂ z ² +
+2n2n22n
(1-2)²=2nCo-2 C1 z+2n C₂ z²+2n C2n 22n
←(a+b)"
=nCoa+nCia"-16+...
··· + n Cran²-r br+....
+nCnbn

くそすう
(2) ①-② から
2n
2n
(1+2)-(1-2)²=2(2C12+2 C3 2³+......+2nC2n-122n-1)
よって
2
f(z) = ((1+2)-(1-2)"}
ゆえに,f(z)=0 は (1+z)2"=(1-2)"...... ③と同値であり,
←(1) の結果の式に,
f(z) の式が現れること
に注目。
①-② を計算すると, 奇
数次の項のみが残る。
2n
1+z
=1は③の解ではないから,③は
=1
④と
同値である。
←1のN乗根は
2kл
2kπ
1+z
④から
Επ
Επ
1-z
= COS +isin (k=0, 1, ., 2n-1)
COS
+isin
N
N
n
n
(k=0, 1,
よって COS
Επ
+27 (cos +1+isin Επ
Επ
Επ
COS
−1+isin
⑤
N-1)
n
n
n
n
ここで
Επ
Επ
kл
Επ Επ
0
1-cos
COS +1+isin =2cos²- +i 2sin COS
sin²-
=
n
n2n
2n
2n
2
2
Επ
Επ
kл
=2 cos
COS +isin
2
COS
0
2
=
1+ cos 0
2n2n
2n
Επ
Επ
Επ
COS
--1+isin-
==
n
n
2n
①になるとき
Επ
-2sin². +i 2sin- COS
=2isin COS +isin
Επ Επ
sin 0=2sin
262
COS
02
2n
2n
-1= i など。
Επ
Επ
2n
2n
2n
ゆえに, ⑤ から
ZCOS
kisin
2n
Επ
JR
2n
Επ
2n
Επ
cos +isin
≠0
2n
k≠nのとき
z=itan-
*t, k=n+1, n+2,
1=1, 2, .,n−1
tan = tan
2n
2n
2n
k=nのときは, z0 = iとなり,不合理が生じるからk≠n
H
Επ K=0·1. h-1 9200
2n
......
+
下
K=h+1-2h-1 = <<
2n-1のとき, l=2n-kとする
Επ (2n-1)=tan (π-
cos- -≠0から。
kл
2n
tan
Ιπ
2n
Butan(л-0)=-tan
Επ
μπ
π
したがって, 方程式(z)=0の解はz=±itan-
(k=0, 1,
70≤
2n
2n
2
n-1) と表される。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たかぴろ

i×tanが１になることはないからです！