このサイトに詳しく載っています
https://makocho2017.com/2018/04/12/bunsikoubun-hutai/
すみません。そのサイトの説明、言ってること自体はあってますが用語の使い方に間違いがあります。
質問者さんに誤解を与える恐れがあるので独立した回答ではなくておぐりん様のコメントに付け加える形で書かせてもらいます。
「独立分詞構文」というのは、文の主語と分詞構文の意味上の主語が別のものである分詞構文のことです。
そのサイトの例文を引用しますが
She ran out of the room screaming
この文のscreamingはただの分詞構文であって、独立分詞構文ではありません。この点がそのサイトの説明だと誤解を生む感じになっています。
文主語sheと、screamingの意味上の主語が同じ
sheはran out of the roomもしてるし、screamingもしています。
こういう場合は、screamingの意味上の主語を明記する必要はありませんし、with の付帯状況の構文も使いません。つまり
She ran out of the room, her screamingとか
She ran out of the room, with her screamingとは
しないのです。文法問題ならば×にされます。
一方で
①Tom was watching TV, his legs crossed.
②Tom was watching TV, with his legs crossed.
という例文もありますが、これはさっきのscreamingの分詞構文とは違うのです。
①の文で、
Tomはwatching TVの主語ですが、crossed（過去分詞なので、「クロス"される"」の意味）の主語ではありません。crossedの主語はhis legsです。
つまり文の主語Tomと、分詞構文の意味上の主語his legsが同じではない。別のものなのです。
こういう場合は、分詞の前に意味上の主語を明記します。
こういう分詞構文のことを「独立分詞構文」と言います。
さらにいうと、
普通の分詞構文にも付帯状況以外にいろんな意味があるように、①のような独立分詞構文にもいろんな意味があり、どういう意味で使っているのかその都度判断する必要があります。
そのなかでも、例えば「〜するとき・したとき」の意味で使う場合は分詞構文の前にwhenをつけたりして、分詞構文の意味を明確にする場合があるのですが、
「〜しながら」などの付帯状況の意味になる場合はwithをつけるのです。これが②の付帯状況のwithの構文です。
ただし②の付帯状況のwithは、普通の分詞構文では使わないのです。独立分詞構文（文主語と分詞構文の意味上の主語同じではない）のときだけ使うのです。
ただし②の付帯状況のwithは、普通の分詞構文では使わないのです。独立分詞構文（文主語と分詞構文の意味上の主語同じではない）のときだけ使うのです。
すみませんでした！
ありがとうございます🙇♀️
付帯状況構文の主語が自明であれば独立分詞構文とし、それ以外の場合はwith を付けて表現する。
またwithの後ろにくる名詞が主節の主語の一部であった場合にもwithが省略される場合がある。