✨ ベストアンサー ✨
確かに模範解答のやり方はすごく合理的ですが、現実的に、これを解くとしたら僕は違う解き方をします。(3)で2n番目の図形について、正方形の個数が求まっています。コレの意味するところは、小さい正方形の個数がn²であり、残された大きい正方形が1個であるということです。では、このときの長方形の数は、いくつかというと、
2番目（n=1）のとき
縦向きが1個、横向きが1個、あわせて2個
4番目（n=2）のとき
縦向きが2個、横向きが2個、あわせて4個
6番目（n=3）のとき
縦向きが3個、横向きが3個、あわせて6個
引いた列の分だけ縦向きの長方形が、引いた行の分だけ横向きの長方形が出来上がるので当たり前ではありますね。長方形の数はあわせてn+n=2n個です。
全体の四角形
=小さい正方形+長方形+大きい正方形
=n²+2n+1
=(n+1)²
です。
線を引くほど数は増えるだろうことは予想がつくので、
n=11（2n=22）のとき12²=144個
n=12（2n=24）のとき13²=169個
144＜156＜169よりn=23です。
もちろん記述答案だと予想でしかないので許されませんが、答えだけならこれが楽だと思います。
きちんとやるなら奇数番目のときの数も出さないといけません。
↓実際に書いてみてください。
2番目（n=1）→3番目のときの変化
小さい正方形→行を引いたので1個増える
横向きの正方形→行を引いたので1個増える
大きい正方形→行を引いたせいで縦の長さが1だけ小さくなり長方形になる（種類は変わるが全体としての数は変化なし）
よって全体としては、2個増とわかります。
4番目（n=2）→5番目のときの変化
小さい正方形→行を引いたので2個増える
横向きの正方形→行を引いたので1個増える
大きい正方形→種類は変わるが数に変化なし
よって全体としては、長方形3個増+正方形が1個減った代わりに長方形が1個増=3個増とわかります。
つまり、小さい正方形がn増え、横向きの長方形が1増えるので、2n番目の個数(n+1)²にn+1を足してやると2n+1番目の個数になるので
(n+1)²+(n+1)
=(n+1)(n+2)
になります。これは連続する2数n+1とn+2の積であり、n=11のとき12×13=156となり、2n+1=2×11+1=23番目となります。
詳しく説明ありがとうございます😭凄くわかりやすいです。助かりました。