数学、式の計算の問題です.

数学

中学生

解決済み

3ヶ月前

優杏

数学、式の計算の問題です.

答え見ても分からない、ワークの解説もピンと来なかったので、分かりやすく解説して頂ければと思います❕

ア、イ、ウは分かります.

コに適する数値を求めなさい。 (ただし, オイカとします) (4点×10) [近畿大附高] 1562,4103,6666のように千の位の数と十の位の数の和が百の位の数と一の位の数の和に等しいけたの正の整数Nを考える。 Nの千の位の数を α 百の位の数をb, 十の位の数をc, 一の位の数をdと表すと, N=アα+ イ 6 + ウ c + d となる。これは,N=10(a + c) + (b + d) + エ (10g + b) と変形できる。ここで,a+c=b+dなので, この値をとおくと, N = (90a +96 + k) となる。以下,k=3 とする。このときはｶの倍数で,このようなNは全部でキ個ある。最も大きい数はで, 97 でわり切れる数はケである。また, 2310 はココと素因数分解できる。 2 次の文を読んでア

2 ア･･･ 1000, イ･･･ 100, ウ･･･ 10, 工… 99, オ··· 11, ··· 33, キ··· 12, ク･･･・ 3300, ケ… 3201, コ･・・ 2×3×5×7×11

回答

✨ ベストアンサー ✨

桔梗

3ヶ月前

長くなってしまいましたができるだけまとめてみました。
わからない所はまたコメント下さい。

優杏 3ヶ月前

ほんっとにありがとうございます❕
分かりやす過ぎました❕

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回答

ブドウくん

3ヶ月前

アイウが分かるなら、エは変形するだけです。エだと説明しにくいので、エに入る数をsとおきます。この式はかっこが入っていて複雑なので展開して整理します。
N=10(a+c)+b+d+s(10a+b)
=10a+10c+b+d+10sa+sb
aとbとcとdの同類項をまとめます。
=10a+10sa+b+sb+10c+d（並び替えただけ）
=(10+10s)a+(s+1)b+10c+d
これが1000a+100b+10c+dと一致するので
aの係数
(10+10s)=1000
10で割るとs+1=100
bの係数
(s+1)=100
どちらにしても同じ式が出てくるのでs=99です。

すなわち
N=10(a+c)+(b+d)+99(10a+b)　・・・(＊)
だと分かりました。
この変形は無意味なものではなく、わざわざこんな変形をさせたのは後に使うからです。

a+c=b+d=kを(＊)に代入して
10k+k+99(10a+b)
=11k+99(10a+b)
=11k+11×9(10a+b)
=11(90a+9b+k)
オの答えは11です。

k=3より
11(90a+9b+3)
カッコ内をさらに3でくくれるので
11×3(30a+3b+c)
=33(30a+3b+c)
aとbとcは整数よりカッコ内も整数なので33の倍数です。

またk=3であり、kはa+c=b+dなのでa+cとb+dは3です。こうなるbとdは、(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)の4つです。aとcも同じと言いたいところですが、忘れているかもしれませんが、33(30a+3b+c)はもともとN=1000a+100b+10c+dを変形したものです。ゆえにaが0だと3桁になりますので、(1,2),(2,1),(3,0)の3つです。その組み合わせは4×3=12通りです。ここまでくれば12通りしかないので、以降の問題は全パターン書き出して一つ一つ試せば良いですが、今回は解説なのでもっと効率的に解きます。

ク以降、文字数の関係で入らないので一旦送ります。

ブドウくん 3ヶ月前

大きくしたければ千の位を大きくすればよいので、aが3のときで、bも3にしてやると、cとdは0になり3300となります。

97は素数なので、Nを素因数分解すると97があるということです。また、33の倍数でもあるので、
97×33×t（tは整数）
の形で表せます。
97×33=(100-3)(30+3)=3000+300-90-9=3201より、このような数は3201の倍数で、3201の倍数のうち4桁の整数はt=1,2,3の3つあります。しかし、k=3を満たそうとするとaの最大が3なので3201のみになります。

最後の問題でいきなり出てきた2310ですが、これは急に素因数分解させたくなったわけではなく、勿論これまでのお話を活用して解く問題です。ですが、別にこのくらい小さな数だと気合で解けますね。出題者の意向を無視して解くと、231×10として、231は2+3+1が6で3の倍数なので231も3の倍数、よって3×77×10となり、あとはバラバラしたら解けます。
出題者さんの意図に沿うと、a=2, b=3 ,c=1 ,d=0であり、a+cとb+dがともに3になっています。よって、キまでの議論が使えて、33の倍数であることがわかっています。33で割ると
2310は33×70とできて、33と70をバラバラしたら答えと一致します。でも、気合いで素因数分解してもそんなに時間かからないので、仮にカとかキとかクなんかがわからなくても、とりたい問題です。

ざっと解説した中で質問等あればコメントしてください。