Question

オロッキ

数理統計学の質問です。　
問題が分からなくて質問します｡

問 22 変数 x,y についてのデータがあり, 平均は (x,y) = (8,6) 標準偏差 ax, oy はどち
らも0ではなかった. このデータに対する単回帰分析を説明変数と目的変数の設定を変
えて2通り (最小二乗法で) 行ったところ, yをxで回帰した (x を説明変数に設定し
た)回帰直線はy=bx + 3, x をy で回帰した回帰直線は x = +αであった.このとき
y
a = (1) b=(2) であり,xとyの相関係数は pxy
(1) の選択肢
(a) 8 (b)-6 (c) -4 (d) -2 (e) 2 (f) 4 (g) 6 (h) 8
"
(2) の選択肢
7
(a)
8
(3) の選択肢
(b)
(c)
(a) -1 (b)
(d)
(c)
(e)
(d)
7/12
2V2
3V2
2√₂
3√2
ヒント:回帰直線は平均を通ることなど, 最小二乗推定値の性質を組み合せて使う.
3 100
(e)
= (3) である.
(f)
(h)
(h) 1

Answer 1

Take

オロッキ様
以下、「xの平均」を記号｛x｝で代替します。
回帰直線は点 (｛x｝,｛y｝)=(8,6) を通るから
　｛y｝=b｛x｝+3　∴6=8b+3　∴b=3/8　■
同様に
　｛x｝=｛y｝/3+a　∴8=6/3+a　∴a=6　■
次に、xとyの共分散をSxy、xの分散をSx²(=σx²)、yの分散をSy²(=σy²)とするとき、
yをxで回帰した回帰直線の傾きが3/8であることから
　Sxy/Sx²=3/8　
ゆえに、xとyの相関係数は
　ρxy=Sxy/SxSy=(Sxy/Sx²)・(Sx/Sy)=(3/8)・(σx²/σy²)　…①
また、xをyで回帰した回帰直線の傾きが1/3であることから
　Sxy/Sy²=1/3　
ゆえに、xとyの相関係数は
　ρxy=Sxy/SxSy=(Sxy/Sy²)・(Sy/Sx)=(1/3)・(σy²/σx²)　…②
①×②より
　(ρxy)²=(3/8)・(1/3)=1/8　∴ρxy=1/(2√2)　■　←回帰直線の傾きが正より ρxy>0
となります。

Take

失礼しました。
①②にミスあります。正しくは
　ρxy=Sxy/SxSy=(Sxy/Sx²)・(Sx/Sy)=(3/8)・(σx/σy)　…①
　ρxy=Sxy/SxSy=(Sxy/Sy²)・(Sy/Sx)=(1/3)・(σy/σx)　…②
です。

オロッキ

親切な回答ありがとうございます｡