数学
中学生

問題48が任意の実数xに対して成り立つの定義から理解できません。できれば、1から説明お願いします🙇‍♀️

(4) 4x² + 12x + 9 = 問題 48 次の不等式が任意の実数』に対して成り立つように,実数定数aの取り得る値の範囲をそれぞれ求めよ。 □(1) x2 + ax +3 > 0 ☐(2) x² -ax+a>0 ロ(3) ax2-2x+a < 0 □ (4) ax2+(a-1)x+a-1>0 2次方 よ。 【例是 次の
関数のグラフを描く (グラフの凹凸)に注意 ありません。 以下の通り。 Lo 3, 5 < x の通り。 I 4 0 ******** 問題 48 y -SS1 +12+90 (2+3) ≦0 ...① のグラフは以下の通 9>0< y=(x-3)2のグラフは以下の通り。 × (28) 3-2 2-6x+90 (x-3) > 0 ...... ① 【KEY】 見かけの2次式に注意 3 T I ①æは3以外の全実数・・・・・・(答) 【指針】 2次関数のグラフを描き, これと軸との位置関係, 頂点 I の座標を用いて題意を言い換えましょう。 なお,「2次不等式」と言っていないことから,2の係数 が0のときがあり得ます。 【解答】 (1) f(x) =x2+ax+3とおくと 2 1(2) = (2+2) ² - ² + 3 であるから, y=f(x)のグラフは以下の通り。 VVV O 常にf(x) > 0 となるための条件は、頂点のy座標が正 であること,つまり +3>0 a²-12 <0 第29回 関数 (4) 解答 × (a+2√3)(a-2√3) <0 (2) f(x)=²ax+aとおくと ⇒-2√3 < a < 2√√3 f(x) = (x - 2)²-2²+ a であるから, y=f(x)のグラフは以下の通り。 VAN. × 常にf(x) 0 となるための条件は、 頂点のy座標が正 であること,つまり a² +a>0 a²-4a < 0 4 a(a-4) <0 0<a<4 ...... (3) f(x) = az²-2x+α とおく。 (i) a=0のとき × f(x) = -2 となり, f(-1)=2>0となるので, 「常にf(x)<0」は成り立たない。 よって不適。 (ii) a>0 のとき y=f(x)のグラフは以下の通り。 Vi × が十分大きいと f(x) > 0 となるので, 「常に f(x)<0」は成り立たない。 よって不適。 (i) a<0のとき I 97 f(x) = a (x - 1)² - 1 + a なので, y=f(x)のグラフは以下の通り。 T × T I 常に f(x) < 0 となるための条件は,頂点のy座標 が負であること,つまり -+a<0 ⇒ −1+ a² >0 (: a < 0) a ⇔ (a +1)(a-1) > 0 ⇒ a < -1, 1 <a これと a0との共通部分を求めて, a<-1
98 第29回 関数 (4) 解答 以上より a<-1 ......(答) (4) f(z) = ax2+(a-1)æ+a-1 とおく。 (i) a=0のとき f(z)=-æ-1となり, f(0) = -1 <0 となるので, 「常にf(x) 0」は成り立たない。 よって不適 (ii) a <0のとき y=f(x)のグラフは以下の通り。 が十分大きいとf(x)<0 となるので,「常に × f(x) 0」は成り立たない。 よって不適。 (ii) a>0のとき 2 a-1 f(x) = a (x + a_− ¹)² _ (a − 1)² 2a 4a なので,y=f(x)のグラフは以下の通り。 I × VVV. T a> 1 (a-1)2 4a × 常に f(x) > 0 となるための条件は 頂点のy座標 が正であること,つまり +a-1 +a-1>0 ⇔ −(a-1)2+4a(a-1)>0 (a>0) ⇔(a-1)(−a +1 + 4a) > 0 >a<-3,1 <a これと a>0との共通部分を求めて, a>1 以上より
関数

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