Question

イズ

模範解答と異なるのですがこの解答でも大丈夫ですか？

必解 249. <exに関する不等式〉
nを自然数とする。
(1) x>0 のとき, 不等式 ex> 1+x が成り立つことを示せ。小ちも大
(2)x>0 のとき、次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
2
xC
e* > 1 + x + x² +
1!2!
xn
ex
✓ (3) 極限値 lim
x→∞
......
+xn
n!
(n=1,2,3,......) を求めよ。
[13 同志社大]

(2) 以下, x>0 とする。
xC
x2
0² - ( 1 + x + 2 ² -
1! 2!
・+・
xn
(217) >
n!
・+
.....
> 0 ･･････ ① が成り立つことをnに
関する数学的帰納法を用いて証明する。
[1] n=1のとき, ① は ex- (1+x ) > 0
(1) から,この不等式は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
k
エコミーケ
x
ex.
e² - ( 1 + ₁1 + ₂ ² + + + + k !
1! 2!
k!
19 積分
g(x) = e ² - { 1 + ₁ +7 +²2² ²2
+:
1! 2!
+
x²
g'(x) = (e*) - {1+ x + 27
+
1! 2!
>0
xk+1
(k+1)!
.2
x
ex.
*- { 1 + + + + + + + 2/² -
1! 2!
・+
2
=(1++++税)>
== e ² - ( 1 + ² + + ²²
1! 2!
k!
よって, g(x) は単調に増加する。
g(x) > 0
g(0)=0 であるから
すなわち
よって,n=k+1 のときも ① は成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数nに対して①は成り立つ。
x²
>0のとき ex>1+11+
とおくと
xk+1
+・ (k+1)!」
.....
k+1
(k+1)!」
・+
2!
+:
= >O
xn
・+・
n!
が成り立つ。
◆g(x) を微分すると,n=k
のときの式が出てくる｡
は任意の自然数nに対

220,71=1,2,においてつけ+++..+…①が成り立つことを示す。
[1] n=1のとき
(左)=ex
(右)=1+2=1+x
2023090622060326
(1) fy ex>l+x >"
(左辺) (右辺)が成り立つから①を満たす。
>
[2] n=kのときは自然数)
elti + 2 +ht
①が
成り立つと仮定する。
7
IP
①' の両辺にTHを加える。
Xkt!
xk
(1) > 1+ 2+ 2²²
(kH)!
12
マ!
kl
>0 だから
e%
(1
X>0₁ R>OIY
ykt!
x
(k+1)!
xk+i
ex ex+ x²
elett
※解答は解答用
>
k
x²
(RH) !
2!
e²'s + x + 1² + m +
se
2
x2
11
2!
A
ただ!
+ht
1+21
+
nk+1のときは成り立つ。
[[1], [2] より ①は成り立つ。
+
[J]
f…+
+1
X²
(友州)!
x
(k+1)!
Xkti
(RH)!
k+1

数学的帰納法