Question

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コサについて、何故答えは21ではなくて29なのですか？

第3問~第5問は,いずれか2問を選択し、 解答しなさい｡
第4問 (選択問題) (配点20)
ある商品を生産する工場があり、生産した商品を一
定個数ずつ箱詰めして出荷している。 ただし, 箱は十
分にあり, 以下でいう在庫とは, 箱詰めして出荷でき
なかった, 1日単位の商品の個数とする。
このとき次の問いに答えよ。
(1) ある日, 工場で生産した商品を1箱4個入り 1箱8個入りの2種類に振り分
け, 箱詰めして出荷した。 このとき, 考えられる在庫の個数の最大値は
である。
ア
個
また, そう考える理由として正しいものは
イ の解答群
の解答群
箱詰めされた商品
イ
⑩ 余分に作らないことになっている
① せいぜい在庫は1個か2個である。
② 1箱8個入りで出荷しているから, 在庫は0~7個である。
③ 2種類の箱で出荷した商品の合計数は4の倍数になる。
④ 48の最小公倍数は8である。
180
(2) ある日、工場で生産した商品を 1箱7個入りを (x+1) 箱, 1箱14個入りをx
箱に箱詰めし出荷したところ, 在庫が5個になった。 2種類の箱は, ともに10箱
以上の出荷があった。
このとき、工場で生産した商品の個数の合計として考えられるものは
ある。
855
である。
計7(x+1)+14x+5
= 21x+12
ウ
700
で
17,700
63
21
61796
63
② 264
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。) 12
21,264
21
(3) ある日,工場で生産した商品を, 1箱3個入りのAパターン, 1箱5個入りのB
パターンとして出荷する。 Aは2箱以上,Bは3箱以上出荷することになってい
る。このとき、商品を何個以上生産すれば,生産した商品すべてを出荷し, 在庫を
0にできるかを以下のように計算した。
[計算]
A を (s+2) 箱, B を (t +3) 箱 (s≧0, t≧0) 出荷したとすると,商品の1日
の生産個数は全部で (3s + 5t+21) 個となる。 さらに,Bは3箱以上出荷すること
から, tは3n, 3n+1,3n+2 (nは0以上の整数) のいずれかで表される。 この
とき, 商品の1日の生産個数の合計である 3s + 5t+ 21 について,次のことがい
える｡
(i) t=3n のとき
21
3s +5t+21=3(s+5n+7) より, 3s + 5t + 21 はエオ以上の3で割り切
れる整数を表す。
(i) t=3n+1 のとき
26
3s +5t+21=3(s+5n+8) +2 より, 3s + 5t +21 は カキ 以上の3で
割って2余る整数を表す。
(i) t = 3n+2 のとき
3s+5t+21=3(s+5n+10) +1 より, 3s + 5t + 21 はクケ以上の3で
割って1余る整数を表す。
したがって, 生産したすべての商品を, A, Bパターンに振り分けて箱詰めする
ことにより, 在庫を0にすることができる商品の生産数の最小値ばコサ個であ
21
る。
(4) ある日, 大口の注文があった。 1箱4個入りのAパターンを35箱, 1箱6個入
りのBパターンを43箱受注した。 工場で生産した商品は581個で, A, Bパター
7×5
ンに振り分けて箱詰めすると、 在庫は0になった。
このとき, 自然数 α bの値を求めると
b =
である。
a=
8
ス
7
35
35a+43b=581
105
70
86 129
30
258
140
(289)
245
20
175
172 215
34438

P(A)
P(D)
の
>p. (0<g <1 より)
よって, Ar4p となる.
以上より, g<4p < 4 となるから,
ナ
第4問 整数の性質 (配点20)
(1) 4個入り 8個入りの箱をそれぞれ箱, n箱(m,nは0以上の整数,
m+n²0) 出荷したとすると, 商品の総生産個数は4m +8 (個) となる.
4m+8n=4(m+2n) であるから、 商品の総生産個数が4の倍数であれ
ば、すべての商品を4個入りと8個入りの箱に振り分けて箱詰めすることに
より、在庫を0にすることができる.
したがって, 在庫がでるとき, その個数は1, 2,3個のいずれかであるか
ら、 在庫の最大値は 3個である.
そう考える理由は, 箱詰めして出荷された2種類の箱の商品の合計個数が
4の倍数となるからである.
よって,イに当てはまるものは
である.
(2) 1箱7個入り (x+1) 箱, 1箱14個入りをx箱出荷し、 在庫が5個に
なったことから, 商品の生産個数の合計は
7(x+1)+14x+5=21x+12=3(7x+4) (個)
である.
また, x≧10 より 3(7x+4) 222 であるから, ⑩〜③のうち222以上の
3の倍数は①と②であり,
が当てはまる.
=281 となり,
3(7x+4)=855 とすると, 7x+4=285, x=
は10以上の整数であることから不適.
3(7x+4)=264 とすると, 7x+4=88, x=12 となり,
は10以上の整数である。
したがって, このとき考えられる商品の個数は264個である.
よって,ウに当てはまるものは② である.
(3) Aパターンを (s+2) 箱, Bパターンを(t+3) 箱 (s≧0,120) 出荷した
とすると, 商品の1日の生産個数は全部で ( 3s +5t+21) 個となる. さらに,
Bは3箱以上出荷することから, tは3n, 3n+1, 3n+2 (nは0以上の整
数)のいずれかで表される.
このとき、商品の1日の生産個数の合計である 3s + 5t+21 について 次
のことがいえる。
(i) t=3n のとき
3s +5t+ 21=3(s+5n+7) より, 3s + 5t + 21 は
21 以上の3で割り切れる整数を表す。
<-54-
← DOAはAである。
← 4m+8m=4(m+2m) は4の倍数.
← 7(x+1)+14x+5=3(7x+4) は3
の倍数.
(i) t=3n+1のとき
3s + 5t+21=3(s+5n+8) +2 より, 3s +5t+ 21 は
26 以上の3で割って2余る整数を表す。
(ii) t = 3n+2 のとき
3s + 5t+21=3(s+5 +10) +1 より, 3s + 5t + 21 は
31 以上の3で割って1余る整数を表す。
(i), (ii), () より,sとtの適当な値に対して,
3s +5t+21=21, 24, 26 27, 29,30,31,32,33,34, ... を表すことがで
きる.
すなわち,sとtの適当な値に対して, 3s + 5t + 21 は29以上のすべての
整数を表すことができる.
したがって、 商品を 29個以上生産すれば, 生産したすべての商品を
A, B に振り分けて箱詰めすることにより、在庫を0にすることができる。
(4) Aパターン, Bパターンはそれぞれ 35 箱, 43箱受注しており、 商品の生
産個数がちょうど581個であることから, a, bに関する式は
35+43b=581
となり, ① を満たす自然数a, bを求めればよい.
① を変形すると, 35g+43b=35×16+21 より
35 (a-16) +436=21
また, 35×5-43×4=3 ... ③ であるから, ②-③ ×7より
35(a-51)+43(b+28)=0
すなわち 35 (51−a)=43(b+28)
35 43 は互いに素な整数であるから, lを整数として
51-α=43ℓ, b +28=35ℓ
つまり
a=51-43l, b=35l-28
となる。
a,bは自然数であるから, 連立不等式
を解くと､整数は
(1≤51-436
1≤35-28
l=1
したがって 求める自然数α, bの値は ④ より
8
a=
b=== 7
← 3x+5y のとり得る値は
<<- 65
(日)から, 21, 24.27.30.33,
から、26, 29, 32.35.38,
から, 31,34,37,40, 43,
第5問 図形の性質 (配点20)
(1) △ABCにおいて, 点Cを通り, 直線AD に平行な直線と辺BAの延長
との交点をEとするので、これを図示すると下のようになる.
5143の倍数6+28
の倍数。