●合は起こりえない
こともできる。
が平行
ない｡
3の場合は、
①,2の場合
3
3 直線が1点で
直線の交点を
通る
x+b₁y+c=l
-+C2=0が平
-ab=0
(ii)
←2xy+1=
txty-7=/
ような
基本 例題 85
座標を利用した証明 (2)
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
1
指針 p. 117 基本例題72と同じように、計算がらくになる工夫をする。
座標の工夫
①1 座標に0を多く含む
2② 対称に点をとる
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分数が
現れないように, A(2a,26), B(-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。
なお,本間は三角形の外心の存在の座標を利用した証明にあたる。
解答
∠Aを最大角としても一般性を失わな
い。 このとき, ∠B <90° ∠ C <90°
である。
SMO SAO MA
直線BC をx軸に、辺BCの垂直二等
分線を軸にとり, △ABCの頂点の
座標を次のようにおく。
A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0)
b
B
-2c
a²+6²-c²
b
N
A(2a, 2b)
K
OL
ただし a≧0,6> 0,c>0
また, ∠B<90°C <90° から, a≠c, aキーcである。
更に、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とする
と,
0), M (a+c, b), N (a-c, b) と表される。
L(0,
辺ABの垂直二等分線の傾きをm とすると, 直線AB の傾き
b
06
であるから,mo
a+c
は
a+c=1&y
a+c
b
よって, 辺ABの垂直二等分線の方程式は
y-b=-atc
-(x-a+c)
m=-
M
C
2cx
すなわち
y=- -x+
a+c
b
辺ACの垂直二等分線の方程式は,①でcの代わりに -c と
おいて
a-c
a²+6²-c²
y=--
-x+
b
b
2直線①,②の交点をKとすると, ① ② のy切片はともに
a²+6²-c²
a²+6²-c²
であるから Kl0, +80-C²)
b
b
点K は, y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
基本72
注意 間違った座標設定
例えば, A(0, b), B(c, 0),
C (-c, 0) では, △ABCは
二等辺三角形で、特別な三角
形しか表さない。
座標を設定するときは, 一般
性を失わないようにしなけ
ればならない。
証明に直線の方程式を使用
するから 分母=0 となら
ないように,この条件を記
している。
0-26
-2c-2a
b
atc
点N(a-c, b) を通り,傾
き−atc
b
の直線。
辺ACの垂直二等分線は,
b
a-c
傾き の直線ACに
垂直で,点 M (a+c, b) を
通るから、①でcの代わ
りに -c とおくと, その方
程式が得られる。
練習
△ABCの3つの頂点から,それぞれの対辺またはその延長に下ろした垂線は1
②85点で交わることを証明せよ (この3つの垂線が交わる点を三角形の垂心 とい
(p.134 EX58 »
う)。
133
3章
13
直線の方程式、2直線の関係
