Question

みみ

数３積分の問題です。［1］でなぜy＝０が方程式の解だとすぐにわかるのでしょうか。

である
EX すべての実数xに対して,
6238
Stf(x-1)dt = f(
を満たす連続関数f(x) を求めよ。
よって
x-t=s とおくと
tとs の対応は右のようになる。
f(t)dt+sinx+cosx-x-1
し,微分方程式を作る。
| HINT まず x-t=s とおいて, 左辺を置換積分法で変形。 そして,がなくなるまで微分を繰り返
x
t=x-s, dt=-ds
t 0 -
1
S
Sof(x-t)dt
=f(x-s)(s) (-1)ds=xf,s(s)ds-Ssf(s)ds
x
x→0
みうちの原理。
[名古屋工大]
←-S=S.
積分変数に無関係な x
を定積分の外に出す。

3
388数学ⅡI
したがって
xfor(s)ds-Soss(s) ds
=Sof(t)dt + sinx+cosx-x-1.... ①
① の両辺をxで微分すると
Sof(s)ds=f(x)+cosx-sinx-1…
mie
② の両辺をxで微分するとf(x)=f'(x) - sinx-cOS x
これを変形すると
{f(x)+cosx}'=f(x)+cosx
y=f(x)+cosx とおくと
[1] y=0 はこの方程式の解である。
[2] y=0 のとき
dy
dx
=y
(2
dy
1. dy=1 ゆえに faxdx=Sdx ←変数分離形。
1 dy =1
y dx
R)+(xnia-
+3.200S)
y
+(nia
したがって
② より (0)=0であるから 0+1=A
9
CHANE
ゆえに
A=1
よって
この f(x) は, ① を満たすから適する。
したがって
f(x)=e*-cosx
←微分方程式。
e-sinx=(COSx)'に着
目し, f(x) と cosx によ
る式を作る。
0=3+
3205
よって
S + dy=Sdx
ゆえに 10g|y|=x+C (Cは任意定数)
y=±ex+c すなわち y = ±e ex
よって
±e=Aとおくと
y=Aer (A は任意定数), A010/0=
[1] における解 y=0 は, [2] における解y=Aex で A=0 とお く (株)
くと得られる。
←置換積分法の公式 。
€ &+30=(0)
f(x)=ex-cosx
A+0=₁²
f(x)+cosx=Ae* (A は任意定数) (200S) 1/1=(大)
==(n))
(Sof(s)ds=0 --
TOX(R)\2
であるから ② は
0=f(0) +1-0-1