物理
高校生
物理重要問題集より単振動です
写真の4).5)青線部分の2はどこからでてきたのですか？
教えて欲しいです
A
必解 52. <2本のばねによる単振動〉
図のように,なめらかな水平面上に質量mの物体Pが同
じばね定数んをもった2つのばね A, B とばねが自然の長さ
にある状態でつながっている。 水平面上右向きにx軸をとり,
このときの物体Pの位置をx座標の原点とする。 物体PをばねAのほうへ原点Oよりaだ
けずらしてからはなす。 このとき物体Pは単振動する。単振動は等速円運動のx軸上への正
射影の運動であるといえる。 時刻 t=0 において、物体Pはちょうど x座標の原点Oを正の
向きに向かって通過した。 ばねの質量はないものとして、次の問いに答えよ。
(1) 時刻t における物体Pの位置xおよび速度を等速円運動の角速度を用いて表せ。
(2) 時刻t において物体Pが位置xにあるときの加速度αを, ω と x を用いて表せ。また,2
つのばねAとBから受ける力Fを, kとxを用いて表せ。
B
1000 P P800000
120
(3) 物体Pが x = α に達してから, 初めて原点を通過するまでの時間 to と, 初めて
x
12/24を通過するまでの時間を,kとmを用いて表せ。
(4) 物体Pの運動エネルギーKの最大値とそのときの位置, およびばねの弾性力による物体
FELS ULL
Pの位置エネルギーUの最大値とそのときの位置を表せ。ただし,ωやTを用いないこと。
pl
(5) 物体Pが単振動しているときの速度と位置xの関係を求め, vを縦軸に,xを横軸にと
ってグラフに示せ。このとき座標軸との交点を,a,kおよびm を用いて表せ。 また,物
体Pが時間とともに図上をたどる向きを矢印で表せ。
[香川大 改〕
(3) ⑨式と,単振動の周期の式「T=2√7｣でK=2kだから,周期丁は
2m
k
m
T=27₁ =π
2k
単振動は円運動の正射影であるから,物体Pがx=a
に達してから初めて原点を通過するまでの時間 to は
T:
to=
90°
360°
よって
また、初めてx=a を通過するまでの時間は
C
π 2m
1-T=1/√²/20
a²
・+
k
60°
1
t₁ =
T:
r=T*D+==
360°
6Vk
(4) 単振動において物体の速さが最大になるのは、振動中心 (x=0) である。
このときの物体Pの速さは, ②式より v=aw
v²
π 2m
2k
=
=
よってK-123mm-12m(cw-1/23mo (7)-1/2mol.2 = ha
=
-ma²1
また, 振幅が最大である x=±αのとき, 弾性力による位置エネルギーが最
大となる。よってUx=2x2123ka²=ka²E
(5) 単振動しているとき力学的エネルギーは保存されるので,ある時
刻 t において,変位 x,速度とすると2×1/2/kx2+1/23mぴ=ka²
両辺を kd² でわると
2
x²
2²
+
a² 2ka²
m
a
·=1
~60°
2π
01 ax
図b2a
-a
2k
m
これは,図cのようなだ円の式を表す。
また,物体Pは, t=0 において x=0を最大速度v=qw で通過し,その後
はxが増えるにしたがって減速していく。 よって, 矢印は図中の向きになる。
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