overにも、〜しながらという意味があると思うのですが… → それは、その通りですが、ちょっと違います。
① It is not polite to talk <with your mouth (being) full>. 口を食べ物で一杯にした状態で話すのは失礼だ。
付帯状況の分詞構文:with+名詞(S)+being(V通常省略)+現在分詞・過去分詞・形容詞(句)・副詞(句)(C)(…) Sが…の状態で
※your mouth (being) full ≒ your mouth is full(あなたの口は食べ物で一杯である)
②My friends and I enjoyed chatting <over(前置詞) a cup of coffee(名詞)>.
友人と私は<コーヒーを飲みながら>おしゃべりを楽しんだ。
①と②の< >内の構造が違います。
参考にしてください。