Question

みるくこーふぃー

統計学の確率密度関数の問題です。
2枚目の資料を参考にして解いていたのですが、難しかったのでどなたか詳しく教えていただくとありがたいです。

問3AさんとBさんが以下でルールが定められたゲームをする。
(ルール 1) 表に 1,裏に0と書かれた1枚のコインを, AさんとBさんがそれぞれ
2回ずつ投げる。
(ルール2) A さんの投げたコインに書かれた数を足し, その値を n とする。同様に
Bさんの投げたコインに書かれた数の和も n とする。
(ルール3) -1,0,1と書かれたカードが何枚かあり、2つ束 aとbになっている。A
さんは束 a から na枚のカードを引き, Bさんは束b からnB枚のカードを引く。 た
だし, 2回引く場合は1枚目のカードをもとに戻してから再度引くこととする。 (補
足1も参照)
(ルール4) (ルール3) におけるカードの数の積をそれぞれX,Y と書くことにする。
例えば、Aさんが2枚のカードを引き, その数が 1と1だとしたら, X = -1x1 = -1
である。 また,Bさんが1枚のカードを引き, その数が1だとしたら, Y=1とす
る。(補足2も参照) そして,この数X, Y の大きい方を勝者とする。
(補足1) ルール3における束 a と束bにあるカードを引く確率はそれぞれ次で与え
られているものとする。
束\数 -1 0 1
1/4 1/2 1/4
1/6 1/2 1/3
a
b
(補足2) A さんが1枚もカードを引かない場合, X = 0 と定義する。 同様に, B さん
においてもカードを引かない場合は Y = 0 とする。
X, Y に対する同時確率密度関数をh(x,y) と書くとき, 次の問いに答えよ。
(1) n=2のときに X = 1 となる確率を求めよ。
(2) (1,-1) を求めよ。
(3) P(X = 1,Y≠0) を求めよ。
(4) AさんとBさんが引き分ける確率を求めよ。
(5) AさんがBさんに勝つ確率を求めよ。
(6) E[X] を求めよ。
(7) E[Y] を求めよ。
(8) X,Y の共分散 C' [X, Y] を求めよ。
(9) V[4X + 12Y ] を求めよ。

3 同時確率密度関数
確率変数には離散型と連続型の2種類があった。 離散型はデータを指折りで数え
ることができるもので, 連続型は指折りで数えられないものであった。 それぞれに
確率密度関数が定義され, 期待値や分散などの計算をするのに使った。 また, 前節で
2変量データを扱ったが, 確率密度関数についても2変量な場合を考えることは自然
と言える。 本章では離散型, 連続型それぞれに関して確率密度関数を考える。 一貫
して次の言葉を定義しておく。
定義 3.1 (同時確率密度関数) 2変量の確率変数X, Y について, その確率密度関
数を同時確率密度関数と呼ぶ。
3.1 離散型の場合
定義 3.2 2変量の確率変数 X,Y の変域は X = π1,... , In, Y = 3/1,..., ym で
あるとする。このとき, 「X = mi, Y = y, となる確率」を
P(X=zi, Y = y), (i=1,...,n, j = 1,...,m)
と書く。 また, このP(X = ri, Y=gj) を
h(πi,yj) = P(X = xi, Y = ys), (i=1,...,n,j=1,...,m)
と略記する。 関数んは X,Y の同時確率密度関数である。
例 3.3 サイコロを2回振る。 また, 確率変数 X,Y をそれぞれ
X:1 回目に出たサイコロの目, Y:2回目に出たサイコロの目
として定義する。 この時, 各えj = 1,... 6 に対して P(X = i, Y = j) を求めよ。
解答 P(X = i, Y = j) とは, 「サイコロを2回投げて、 1回目にえの目が出て, 2
回目にうの目が出る」 ことを意味する。よって, すべての (i,j) に対して
である。
1
P(X = i, Y = j) = 36
同時確率密度関数んに対して,次の定理は基本的である。
定理 3.4 (教科書では定理 2.18) 離散的な確率変数 X,Y はそれぞれ
X = 1,72..., In, Y = ¥1,32,･･･,3m を値として取るとする。 このと
き,離散的な同時確率密度関数h (πi,j) は次を満たす:
(1) i-1
-1h(πi,yj) = 1
(2)
jm1h(πi,j)=f(zi), (fは X の確率密度関数)
14
(3) inh (i,j)=g(y), (gはY の確率密度関数 )
(1) は確率密度関数をすべて足すと1になる (確率の総和は100%である)ことを
意味する。 また, (2),(3) は同時確率密度関数について片方の変数だけの総和を取っ
た場合, もう片方の確率変数に対する確率密度関数が現れることを意味する。
例 3.5 例 3.3 において, X の確率密度関数 f及びY の確率密度関数g を求めよ。
解答 任意のæ= 1,... , 6に対してf(z) = 20=1P(X = x, Y = y) = 6×1/36=
1/6 となる。 同様にして, 任意のy = 1,･･･,6に対して g(y) = 1/6 を得る。
注意 3.6 サイコロを2回投げる試行において, 1回目に出る目の確率はどれも等し
く 1/6 となるはずだが, 例 3.5 によって確かに正しいことが分かった。

確率密度関数 統計学