Question

あ

この問題の最後のところで、y＝xに関して対称だから
cos2分のπ−θ＝sinθ、、、
となるのがなぜかよくわかりません
教えてください！お願いします🙇‍♂️🙇‍♂️

66 加法定理
(1) 一般角に対して sine, cose の定義を述べよ
(2) (1) で述べた定義にもとづき,一般角α, βに対して、
sin(a+β)=sina cos β + cos asinβ
os (a+β)=cosacos β-sinasin /
COS
を証明せよ.
精講
(1) Oを始点とする動径を考えます.
0からの距離がrで始線とのなす
角が0の動径上の点Pの座標を(x,y) とする.
Pにより決まる値
y = sine), (=cos0)
はの値,すなわちPの位置とは無関係に0のみ
で決まる値であることを主張することが大切です.
1つの動径上に異なる点A, A' をとりこの2
点からx軸上に下ろした垂線の足をそれぞれH,
H'とすると
より
△OAH SOA'H'
AH_A'H'
=
OA OA'
OH OH'
OA OA'
IC
x 15
50
r r
G
□
H H'
18
です. A の座標を(x, y), r=OA とするとそ
れぞれの値は
であり,これは A'の位置に無関係に決まる値で
す。
(2) (1) で述べた定義にもとづき証明せよ。」と
なっているところに注意を払います (1) で初めて
sin 0, cos が定義されたのですから,
sin'0+cos20=1
解法のプロセス
(1) 0 を始点とする動径上の点
P(x, y) に対して
yI
r² r
732 1=50ARS
yI
, (r=OP)
r
はPの位置に無関係に決まる
値である
7502
1750
などの証明の途中で必要とされる定理はすべて証
明してから使うべきです.
147
(東大)
X 回転しても距離は不変
(nie Reo) Curle
義可能である
(2) A(cosa, sina),
B(cos β, sin β) をとる
凸
A, B を原点のまわりに -β
回転させ, A',B'とする
凸
↓
の関数として定
↓
AB=A'B'

sin cos0 は始点Oからの距離rに無関係に
決まる値なのでr=1 としてよく, このときの
に対する動径上の点Pの座標は
(cos 0, sine)
であり,
cos20+ sin²0=1
が成り立ちます。
角α, βの動径上の点で始点からの距離が1の
点をそれぞれ A, B としてとると
A(cosa, sina), B(cosß, sin ß)
であり、これらを原点のまわりに -β回転した点
をそれぞれ A', B' とする. このときA', B'の座
標は
A'(cos (a-B), sin (a-B)), B'(1, 0)
であり、回転しても2点間の距離は不変なので,
AB=A'B' が成り立ちます.ご
十二
A
A'(cos (a-B), sin (a-B)), B'(1, 0)
このとき, 距離の公式より
YAM
1 B
一方
0
A'
a-B
解答>
(1) 座標平面上で,軸の正方向を始線とする一般角の動径上に点P(x,y)を
とる. OP=r とすると
はに無関係であり,0だけにより決まる値で
ある. この値をそれぞれ
sin =
=1,cosl=1
と定義する.
(2) sin, cosrに無関係なので r=1 としてよい. 一般角α, βに対して
動径 OA, OB が決まり
(1909-) (8)
A(cosa, sina), B(cosß, sinß)
である。この2点をともに原点のまわりに-β回転した点をそれぞれA',B'
とすると
AB2= (cosa-cosβ)2+ (sina-sinβ) 2
= cos'a+sin'a+cos²2β+ sin'β-2(cosacos β + sin asin β)
ここで, cos'a+sin'α=0A'=1, 同じく cos'β+sin'β=1 より
AB2=2-2(cosacosβ+sinasinβ)
A'B'={1-cos(α-β)}+sin' (a-β)
AB=A'B' より
=2-2 cos (a-B) ( cos(a-B)+sin²(a-B)=1)
cos(α-β)=cos a cos β+ sinasinβ ...... ①
①は任意のα, βに対して成り立つから
cos (a+B)=cos (a-(-B))
=cosacos(-β)+sinasin (B) ...... ①'
0 0 の動上の点で原点からの距離が1の点をそれぞれP, Qとすると,
P Q はz軸に関して対称であるから
[cos (-8)=cos
[sin(-8)=-sin0
が成り立つ.①'より
cos (a+β)=cos acos β-sinasinβ
π
次に,0,万一
すると
0+1
π
( 727 - 0)
--0 の動径上の点で原点からの距離が1の点をそれぞれ PR と
2
4
より, P, R は直線y=xに関して対称であるから
COS - 0 = sine
πC
2
| sine=cose
LXO24X90
平均が
研究
が成り立つ.よって
sin(a+3)=cos((+B)} (②の1番目の式)
= cos((-a)-8)
COS 2
D R
= sinacosβ+cos asinβ
‥. sin(α+β)= sinacosβ+cos asin β
149
A
= cos(-a) cos/8+ sin(-a)sins (0)
(①)
1° ① を用いて②を示すこともできる.
① において, α = 77, B=0 とおくと
cos (-0)=coscos 0+sinsine=sini 11)
FCOS
さらに、この式において,日を10とおけば